Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7748 / 4279
↖ ↑ ↗
← N 64.858274°
W  9.755860°		 ← 1 038.05 m → N 64.858274°
W  9.733887°		 →
↑
1 038.22 m
↓
↑
1 038.22 m
↓
N 64.848937°
W  9.755860°		 ← 1 038.41 m →
1 077 908 m²		 N 64.848937°
W  9.733887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7748 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4279 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472930908203125 y=0.261199951171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472930908203125 × 214)
    floor (0.472930908203125 × 16384)
    floor (7748.5)     		tx = 7748
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261199951171875 × 214)
    floor (0.261199951171875 × 16384)
    floor (4279.5)     		ty = 4279
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7748 / 4279 ti = "14/7748/4279"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7748/4279.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7748 ÷ 214
    7748 ÷ 16384     		x = 0.472900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4279 ÷ 214
    4279 ÷ 16384     		y = 0.26116943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472900390625 × 2 - 1) × π
    -0.05419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17027187
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26116943359375 × 2 - 1) × π
    0.4776611328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.50061670570624
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17027187} λ = -0.17027187}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50061670570624))-π/2
    2×atan(4.48445380598783)-π/2
    2×1.35139337901826-π/2
    2.70278675803652-1.57079632675     		φ = 1.13199043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17027187} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.755860°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13199043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.858274°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7748 KachelY 4279 -0.17027187 1.13199043 -9.755860 64.858274
    Oben rechts KachelX + 1 7749 KachelY 4279 -0.16988837 1.13199043 -9.733887 64.858274
    Unten links KachelX 7748 KachelY + 1 4280 -0.17027187 1.13182747 -9.755860 64.848937
    Unten rechts KachelX + 1 7749 KachelY + 1 4280 -0.16988837 1.13182747 -9.733887 64.848937
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13199043-1.13182747) × R
    0.000162960000000156 × 6371000     		dl = 1038.218160001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13199043-1.13182747) × R
    0.000162960000000156 × 6371000     		dr = 1038.218160001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17027187--0.16988837) × cos(1.13199043) × R
    0.000383499999999981 × 0.424858794792101 × 6371000     		do = 1038.0483588514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17027187--0.16988837) × cos(1.13182747) × R
    0.000383499999999981 × 0.425006310260096 × 6371000     		du = 1038.40878022277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13199043)-sin(1.13182747))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424858794792101-0.425006310260096)×R²
    abs(-0.16988837--0.17027187)×0.000147515467995352×R²
    0.000383499999999981×0.000147515467995352×6371000²
    0.000383499999999981×0.000147515467995352×40589641000000     		ar = 1077907.75751087m²