Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7748 / 1612
↖ ↑ ↗
← N 73.073844°
E160.488281°		 ← 1 422.65 m → N 73.073844°
E160.532227°		 →
↑
1 423.22 m
↓
↑
1 423.22 m
↓
N 73.061044°
E160.488281°		 ← 1 423.69 m →
2 025 482 m²		 N 73.061044°
E160.532227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7748 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1612 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.94586181640625 y=0.19683837890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.94586181640625 × 213)
    floor (0.94586181640625 × 8192)
    floor (7748.5)     		tx = 7748
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.19683837890625 × 213)
    floor (0.19683837890625 × 8192)
    floor (1612.5)     		ty = 1612
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7748 / 1612 ti = "13/7748/1612"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7748/1612.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7748 ÷ 213
    7748 ÷ 8192     		x = 0.94580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1612 ÷ 213
    1612 ÷ 8192     		y = 0.19677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94580078125 × 2 - 1) × π
    0.8916015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.80104892
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19677734375 × 2 - 1) × π
    0.6064453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.90520413849951
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80104892} λ = 2.80104892}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90520413849951))-π/2
    2×atan(6.72077945744254)-π/2
    2×1.42308774658201-π/2
    2.84617549316402-1.57079632675     		φ = 1.27537917
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80104892} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.488281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27537917 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.073844°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7748 KachelY 1612 2.80104892 1.27537917 160.488281 73.073844
    Oben rechts KachelX + 1 7749 KachelY 1612 2.80181591 1.27537917 160.532227 73.073844
    Unten links KachelX 7748 KachelY + 1 1613 2.80104892 1.27515578 160.488281 73.061044
    Unten rechts KachelX + 1 7749 KachelY + 1 1613 2.80181591 1.27515578 160.532227 73.061044
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27537917-1.27515578) × R
    0.000223389999999934 × 6371000     		dl = 1423.21768999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27537917-1.27515578) × R
    0.000223389999999934 × 6371000     		dr = 1423.21768999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80104892-2.80181591) × cos(1.27537917) × R
    0.000766990000000245 × 0.291138961329864 × 6371000     		do = 1422.6485809964m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80104892-2.80181591) × cos(1.27515578) × R
    0.000766990000000245 × 0.291352666982039 × 6371000     		du = 1423.6928522318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27537917)-sin(1.27515578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291138961329864-0.291352666982039)×R²
    abs(2.80181591-2.80104892)×0.000213705652175711×R²
    0.000766990000000245×0.000213705652175711×6371000²
    0.000766990000000245×0.000213705652175711×40589641000000     		ar = 2025481.74819637m²