Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77479 / 58217
↖ ↑ ↗
← N 19.702072°
E 32.802429°		 ← 287.55 m → N 19.702072°
E 32.805176°		 →
↑
287.52 m
↓
↑
287.52 m
↓
N 19.699486°
E 32.802429°		 ← 287.55 m →
82 677 m²		 N 19.699486°
E 32.805176°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77479 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58217 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591121673583984 y=0.444164276123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591121673583984 × 217)
    floor (0.591121673583984 × 131072)
    floor (77479.5)     		tx = 77479
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444164276123047 × 217)
    floor (0.444164276123047 × 131072)
    floor (58217.5)     		ty = 58217
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77479 / 58217 ti = "17/77479/58217"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77479/58217.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77479 ÷ 217
    77479 ÷ 131072     		x = 0.591117858886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58217 ÷ 217
    58217 ÷ 131072     		y = 0.444160461425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591117858886719 × 2 - 1) × π
    0.182235717773438 × 3.1415926535     		Λ = 0.57251039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444160461425781 × 2 - 1) × π
    0.111679077148438 × 3.1415926535     		Φ = 0.350850168319191
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57251039} λ = 0.57251039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.350850168319191))-π/2
    2×atan(1.42027450785243)-π/2
    2×0.957331174646709-π/2
    1.91466234929342-1.57079632675     		φ = 0.34386602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57251039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.802429°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34386602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.702072°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77479 KachelY 58217 0.57251039 0.34386602 32.802429 19.702072
    Oben rechts KachelX + 1 77480 KachelY 58217 0.57255833 0.34386602 32.805176 19.702072
    Unten links KachelX 77479 KachelY + 1 58218 0.57251039 0.34382089 32.802429 19.699486
    Unten rechts KachelX + 1 77480 KachelY + 1 58218 0.57255833 0.34382089 32.805176 19.699486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34386602-0.34382089) × R
    4.51300000000043e-05 × 6371000     		dl = 287.523230000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34386602-0.34382089) × R
    4.51300000000043e-05 × 6371000     		dr = 287.523230000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57251039-0.57255833) × cos(0.34386602) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.941458355722981 × 6371000     		do = 287.545614975686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57251039-0.57255833) × cos(0.34382089) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.941473569409511 × 6371000     		du = 287.550261627153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34386602)-sin(0.34382089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941458355722981-0.941473569409511)×R²
    abs(0.57255833-0.57251039)×1.52136865296804e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52136865296804e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52136865296804e-05×40589641000000     		ar = 82676.7120143692m²