Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77478 / 57494
↖ ↑ ↗
← N 21.560393°
E 32.799683°		 ← 284 m → N 21.560393°
E 32.802429°		 →
↑
284.02 m
↓
↑
284.02 m
↓
N 21.557839°
E 32.799683°		 ← 284 m →
80 661 m²		 N 21.557839°
E 32.802429°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77478 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57494 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591114044189453 y=0.438648223876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591114044189453 × 217)
    floor (0.591114044189453 × 131072)
    floor (77478.5)     		tx = 77478
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438648223876953 × 217)
    floor (0.438648223876953 × 131072)
    floor (57494.5)     		ty = 57494
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77478 / 57494 ti = "17/77478/57494"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77478/57494.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77478 ÷ 217
    77478 ÷ 131072     		x = 0.591110229492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57494 ÷ 217
    57494 ÷ 131072     		y = 0.438644409179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591110229492188 × 2 - 1) × π
    0.182220458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.57246246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438644409179688 × 2 - 1) × π
    0.122711181640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.385508546744492
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57246246} λ = 0.57246246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.385508546744492))-π/2
    2×atan(1.47036187908786)-π/2
    2×0.973548089019987-π/2
    1.94709617803997-1.57079632675     		φ = 0.37629985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57246246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.799683°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37629985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.560393°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77478 KachelY 57494 0.57246246 0.37629985 32.799683 21.560393
    Oben rechts KachelX + 1 77479 KachelY 57494 0.57251039 0.37629985 32.802429 21.560393
    Unten links KachelX 77478 KachelY + 1 57495 0.57246246 0.37625527 32.799683 21.557839
    Unten rechts KachelX + 1 77479 KachelY + 1 57495 0.57251039 0.37625527 32.802429 21.557839
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37629985-0.37625527) × R
    4.45800000000163e-05 × 6371000     		dl = 284.019180000104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37629985-0.37625527) × R
    4.45800000000163e-05 × 6371000     		dr = 284.019180000104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57246246-0.57251039) × cos(0.37629985) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.930030736602061 × 6371000     		do = 283.996073691374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57246246-0.57251039) × cos(0.37625527) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.930047118013848 × 6371000     		du = 284.001075952532m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37629985)-sin(0.37625527))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930030736602061-0.930047118013848)×R²
    abs(0.57251039-0.57246246)×1.63814117876138e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.63814117876138e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.63814117876138e-05×40589641000000     		ar = 80661.0423555032m²