Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77474 / 57957
↖ ↑ ↗
← N 20.372952°
E 32.788696°		 ← 286.26 m → N 20.372952°
E 32.791443°		 →
↑
286.31 m
↓
↑
286.31 m
↓
N 20.370377°
E 32.788696°		 ← 286.27 m →
81 961 m²		 N 20.370377°
E 32.791443°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77474 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57957 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591083526611328 y=0.442180633544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591083526611328 × 217)
    floor (0.591083526611328 × 131072)
    floor (77474.5)     		tx = 77474
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442180633544922 × 217)
    floor (0.442180633544922 × 131072)
    floor (57957.5)     		ty = 57957
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77474 / 57957 ti = "17/77474/57957"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77474/57957.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77474 ÷ 217
    77474 ÷ 131072     		x = 0.591079711914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57957 ÷ 217
    57957 ÷ 131072     		y = 0.442176818847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591079711914062 × 2 - 1) × π
    0.182159423828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.57227071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442176818847656 × 2 - 1) × π
    0.115646362304688 × 3.1415926535     		Φ = 0.363313762220406
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57227071} λ = 0.57227071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.363313762220406))-π/2
    2×atan(1.43808700583322)-π/2
    2×0.963185709216264-π/2
    1.92637141843253-1.57079632675     		φ = 0.35557509
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57227071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.788696°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35557509 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.372952°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77474 KachelY 57957 0.57227071 0.35557509 32.788696 20.372952
    Oben rechts KachelX + 1 77475 KachelY 57957 0.57231864 0.35557509 32.791443 20.372952
    Unten links KachelX 77474 KachelY + 1 57958 0.57227071 0.35553015 32.788696 20.370377
    Unten rechts KachelX + 1 77475 KachelY + 1 57958 0.57231864 0.35553015 32.791443 20.370377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35557509-0.35553015) × R
    4.49399999999933e-05 × 6371000     		dl = 286.312739999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35557509-0.35553015) × R
    4.49399999999933e-05 × 6371000     		dr = 286.312739999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57227071-0.57231864) × cos(0.35557509) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.937446438034017 × 6371000     		do = 286.260547334512m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57227071-0.57231864) × cos(0.35553015) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.937462082028852 × 6371000     		du = 286.265324416532m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35557509)-sin(0.35553015))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937446438034017-0.937462082028852)×R²
    abs(0.57231864-0.57227071)×1.56439948353349e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.56439948353349e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.56439948353349e-05×40589641000000     		ar = 81960.7255447533m²