Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77472 / 83942
↖ ↑ ↗
← S 45.038597°
E 32.783203°		 ← 215.82 m → S 45.038597°
E 32.785950°		 →
↑
215.79 m
↓
↑
215.79 m
↓
S 45.040537°
E 32.783203°		 ← 215.82 m →
46 571 m²		 S 45.040537°
E 32.785950°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83942 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591068267822266 y=0.640430450439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591068267822266 × 217)
    floor (0.591068267822266 × 131072)
    floor (77472.5)     		tx = 77472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640430450439453 × 217)
    floor (0.640430450439453 × 131072)
    floor (83942.5)     		ty = 83942
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77472 / 83942 ti = "17/77472/83942"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77472/83942.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77472 ÷ 217
    77472 ÷ 131072     		x = 0.591064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83942 ÷ 217
    83942 ÷ 131072     		y = 0.640426635742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591064453125 × 2 - 1) × π
    0.18212890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.57217483
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640426635742188 × 2 - 1) × π
    -0.280853271484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.882326574406754
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57217483} λ = 0.57217483}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.882326574406754))-π/2
    2×atan(0.41381901010407)-π/2
    2×0.392362263299886-π/2
    0.784724526599772-1.57079632675     		φ = -0.78607180
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57217483} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.783203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78607180 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.038597°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77472 KachelY 83942 0.57217483 -0.78607180 32.783203 -45.038597
    Oben rechts KachelX + 1 77473 KachelY 83942 0.57222277 -0.78607180 32.785950 -45.038597
    Unten links KachelX 77472 KachelY + 1 83943 0.57217483 -0.78610567 32.783203 -45.040537
    Unten rechts KachelX + 1 77473 KachelY + 1 83943 0.57222277 -0.78610567 32.785950 -45.040537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78607180--0.78610567) × R
    3.38699999999914e-05 × 6371000     		dl = 215.785769999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78607180--0.78610567) × R
    3.38699999999914e-05 × 6371000     		dr = 215.785769999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57217483-0.57222277) × cos(-0.78607180) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.706630287775184 × 6371000     		do = 215.823078550007m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57217483-0.57222277) × cos(-0.78610567) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.706606321535231 × 6371000     		du = 215.815758643434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78607180)-sin(-0.78610567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706630287775184-0.706606321535231)×R²
    abs(0.57222277-0.57217483)×2.39662399529328e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39662399529328e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39662399529328e-05×40589641000000     		ar = 46570.7594271904m²