Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77472 / 60384
↖ ↑ ↗
← N 14.008697°
E 32.783203°		 ← 296.34 m → N 14.008697°
E 32.785950°		 →
↑
296.38 m
↓
↑
296.38 m
↓
N 14.006031°
E 32.783203°		 ← 296.35 m →
87 830 m²		 N 14.006031°
E 32.785950°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60384 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591068267822266 y=0.460697174072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591068267822266 × 217)
    floor (0.591068267822266 × 131072)
    floor (77472.5)     		tx = 77472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.460697174072266 × 217)
    floor (0.460697174072266 × 131072)
    floor (60384.5)     		ty = 60384
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77472 / 60384 ti = "17/77472/60384"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77472/60384.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77472 ÷ 217
    77472 ÷ 131072     		x = 0.591064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60384 ÷ 217
    60384 ÷ 131072     		y = 0.460693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591064453125 × 2 - 1) × π
    0.18212890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.57217483
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.460693359375 × 2 - 1) × π
    0.07861328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.246970906842529
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57217483} λ = 0.57217483}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.246970906842529))-π/2
    2×atan(1.28014186886753)-π/2
    2×0.907647101183901-π/2
    1.8152942023678-1.57079632675     		φ = 0.24449788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57217483} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.783203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24449788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.008697°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77472 KachelY 60384 0.57217483 0.24449788 32.783203 14.008697
    Oben rechts KachelX + 1 77473 KachelY 60384 0.57222277 0.24449788 32.785950 14.008697
    Unten links KachelX 77472 KachelY + 1 60385 0.57217483 0.24445136 32.783203 14.006031
    Unten rechts KachelX + 1 77473 KachelY + 1 60385 0.57222277 0.24445136 32.785950 14.006031
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24449788-0.24445136) × R
    4.65199999999943e-05 × 6371000     		dl = 296.378919999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24449788-0.24445136) × R
    4.65199999999943e-05 × 6371000     		dr = 296.378919999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57217483-0.57222277) × cos(0.24449788) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.970258995051632 × 6371000     		do = 296.342071555107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57217483-0.57222277) × cos(0.24445136) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.97027025505949 × 6371000     		du = 296.345510651339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24449788)-sin(0.24445136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.970258995051632-0.97027025505949)×R²
    abs(0.57222277-0.57217483)×1.1260007858338e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.1260007858338e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.1260007858338e-05×40589641000000     		ar = 87830.0527716932m²