Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77471 / 83937
↖ ↑ ↗
← S 45.028892°
E 32.780457°		 ← 215.81 m → S 45.028892°
E 32.783203°		 →
↑
215.85 m
↓
↑
215.85 m
↓
S 45.030833°
E 32.780457°		 ← 215.81 m →
46 583 m²		 S 45.030833°
E 32.783203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77471 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83937 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591060638427734 y=0.640392303466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591060638427734 × 217)
    floor (0.591060638427734 × 131072)
    floor (77471.5)     		tx = 77471
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640392303466797 × 217)
    floor (0.640392303466797 × 131072)
    floor (83937.5)     		ty = 83937
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77471 / 83937 ti = "17/77471/83937"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77471/83937.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77471 ÷ 217
    77471 ÷ 131072     		x = 0.591056823730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83937 ÷ 217
    83937 ÷ 131072     		y = 0.640388488769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591056823730469 × 2 - 1) × π
    0.182113647460938 × 3.1415926535     		Λ = 0.57212690
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640388488769531 × 2 - 1) × π
    -0.280776977539062 × 3.1415926535     		Φ = -0.882086889908653
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57212690} λ = 0.57212690}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.882086889908653))-π/2
    2×atan(0.413918207993435)-π/2
    2×0.39244695464388-π/2
    0.784893909287761-1.57079632675     		φ = -0.78590242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57212690} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.780457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78590242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.028892°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77471 KachelY 83937 0.57212690 -0.78590242 32.780457 -45.028892
    Oben rechts KachelX + 1 77472 KachelY 83937 0.57217483 -0.78590242 32.783203 -45.028892
    Unten links KachelX 77471 KachelY + 1 83938 0.57212690 -0.78593630 32.780457 -45.030833
    Unten rechts KachelX + 1 77472 KachelY + 1 83938 0.57217483 -0.78593630 32.783203 -45.030833
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78590242--0.78593630) × R
    3.38800000000417e-05 × 6371000     		dl = 215.849480000265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78590242--0.78593630) × R
    3.38800000000417e-05 × 6371000     		dr = 215.849480000265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57212690-0.57217483) × cos(-0.78590242) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.706750128038848 × 6371000     		do = 215.814653800835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57212690-0.57217483) × cos(-0.78593630) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.706726158778166 × 6371000     		du = 215.807334498735m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78590242)-sin(-0.78593630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706750128038848-0.706726158778166)×R²
    abs(0.57217483-0.57212690)×2.39692606822661e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39692606822661e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39692606822661e-05×40589641000000     		ar = 46582.6908700119m²