Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77471 / 57951
↖ ↑ ↗
← N 20.388400°
E 32.780457°		 ← 286.23 m → N 20.388400°
E 32.783203°		 →
↑
286.31 m
↓
↑
286.31 m
↓
N 20.385825°
E 32.780457°		 ← 286.24 m →
81 953 m²		 N 20.385825°
E 32.783203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77471 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57951 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591060638427734 y=0.442134857177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591060638427734 × 217)
    floor (0.591060638427734 × 131072)
    floor (77471.5)     		tx = 77471
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442134857177734 × 217)
    floor (0.442134857177734 × 131072)
    floor (57951.5)     		ty = 57951
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77471 / 57951 ti = "17/77471/57951"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77471/57951.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77471 ÷ 217
    77471 ÷ 131072     		x = 0.591056823730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57951 ÷ 217
    57951 ÷ 131072     		y = 0.442131042480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591056823730469 × 2 - 1) × π
    0.182113647460938 × 3.1415926535     		Λ = 0.57212690
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442131042480469 × 2 - 1) × π
    0.115737915039062 × 3.1415926535     		Φ = 0.363601383618126
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57212690} λ = 0.57212690}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.363601383618126))-π/2
    2×atan(1.43850068991722)-π/2
    2×0.963320517292701-π/2
    1.9266410345854-1.57079632675     		φ = 0.35584471
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57212690} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.780457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35584471 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.388400°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77471 KachelY 57951 0.57212690 0.35584471 32.780457 20.388400
    Oben rechts KachelX + 1 77472 KachelY 57951 0.57217483 0.35584471 32.783203 20.388400
    Unten links KachelX 77471 KachelY + 1 57952 0.57212690 0.35579977 32.780457 20.385825
    Unten rechts KachelX + 1 77472 KachelY + 1 57952 0.57217483 0.35579977 32.783203 20.385825
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35584471-0.35579977) × R
    4.49399999999933e-05 × 6371000     		dl = 286.312739999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35584471-0.35579977) × R
    4.49399999999933e-05 × 6371000     		dr = 286.312739999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57212690-0.57217483) × cos(0.35584471) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.937352541275082 × 6371000     		do = 286.231874829593m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57212690-0.57217483) × cos(0.35579977) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.937368196628222 × 6371000     		du = 286.236655380008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35584471)-sin(0.35579977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937352541275082-0.937368196628222)×R²
    abs(0.57217483-0.57212690)×1.5655353139965e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.5655353139965e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.5655353139965e-05×40589641000000     		ar = 81952.5167378589m²