Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77470 / 58133
↖ ↑ ↗
← N 19.919130°
E 32.777710°		 ← 287.15 m → N 19.919130°
E 32.780457°		 →
↑
287.14 m
↓
↑
287.14 m
↓
N 19.916548°
E 32.777710°		 ← 287.16 m →
82 454 m²		 N 19.916548°
E 32.780457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77470 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591053009033203 y=0.443523406982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591053009033203 × 217)
    floor (0.591053009033203 × 131072)
    floor (77470.5)     		tx = 77470
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443523406982422 × 217)
    floor (0.443523406982422 × 131072)
    floor (58133.5)     		ty = 58133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77470 / 58133 ti = "17/77470/58133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77470/58133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77470 ÷ 217
    77470 ÷ 131072     		x = 0.591049194335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58133 ÷ 217
    58133 ÷ 131072     		y = 0.443519592285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591049194335938 × 2 - 1) × π
    0.182098388671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57207896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443519592285156 × 2 - 1) × π
    0.112960815429688 × 3.1415926535     		Φ = 0.354876867887276
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57207896} λ = 0.57207896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.354876867887276))-π/2
    2×atan(1.42600505645548)-π/2
    2×0.959225369093869-π/2
    1.91845073818774-1.57079632675     		φ = 0.34765441
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57207896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.777710°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34765441 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.919130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77470 KachelY 58133 0.57207896 0.34765441 32.777710 19.919130
    Oben rechts KachelX + 1 77471 KachelY 58133 0.57212690 0.34765441 32.780457 19.919130
    Unten links KachelX 77470 KachelY + 1 58134 0.57207896 0.34760934 32.777710 19.916548
    Unten rechts KachelX + 1 77471 KachelY + 1 58134 0.57212690 0.34760934 32.780457 19.916548
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34765441-0.34760934) × R
    4.50700000000359e-05 × 6371000     		dl = 287.140970000229m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34765441-0.34760934) × R
    4.50700000000359e-05 × 6371000     		dr = 287.140970000229m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57207896-0.57212690) × cos(0.34765441) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.940174425662391 × 6371000     		do = 287.153469686823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57207896-0.57212690) × cos(0.34760934) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.940189779762773 × 6371000     		du = 287.158159224294m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34765441)-sin(0.34760934))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940174425662391-0.940189779762773)×R²
    abs(0.57212690-0.57207896)×1.53541003813373e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.53541003813373e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.53541003813373e-05×40589641000000     		ar = 82454.1991178966m²