Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7747 / 4931
↖ ↑ ↗
← N 58.043004°
W  9.777832°		 ← 1 293.15 m → N 58.043004°
W  9.755860°		 →
↑
1 293.38 m
↓
↑
1 293.38 m
↓
N 58.031373°
W  9.777832°		 ← 1 293.57 m →
1 672 804 m²		 N 58.031373°
W  9.755860°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7747 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4931 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472869873046875 y=0.300994873046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472869873046875 × 214)
    floor (0.472869873046875 × 16384)
    floor (7747.5)     		tx = 7747
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300994873046875 × 214)
    floor (0.300994873046875 × 16384)
    floor (4931.5)     		ty = 4931
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7747 / 4931 ti = "14/7747/4931"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7747/4931.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7747 ÷ 214
    7747 ÷ 16384     		x = 0.47283935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4931 ÷ 214
    4931 ÷ 16384     		y = 0.30096435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47283935546875 × 2 - 1) × π
    -0.0543212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17065536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30096435546875 × 2 - 1) × π
    0.3980712890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.25057783728802
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17065536} λ = -0.17065536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25057783728802))-π/2
    2×atan(3.49236039058857)-π/2
    2×1.29191892767338-π/2
    2.58383785534676-1.57079632675     		φ = 1.01304153
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17065536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.777832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01304153 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.043004°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7747 KachelY 4931 -0.17065536 1.01304153 -9.777832 58.043004
    Oben rechts KachelX + 1 7748 KachelY 4931 -0.17027187 1.01304153 -9.755860 58.043004
    Unten links KachelX 7747 KachelY + 1 4932 -0.17065536 1.01283852 -9.777832 58.031373
    Unten rechts KachelX + 1 7748 KachelY + 1 4932 -0.17027187 1.01283852 -9.755860 58.031373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01304153-1.01283852) × R
    0.000203009999999892 × 6371000     		dl = 1293.37670999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01304153-1.01283852) × R
    0.000203009999999892 × 6371000     		dr = 1293.37670999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17065536--0.17027187) × cos(1.01304153) × R
    0.000383490000000014 × 0.529282600790659 × 6371000     		do = 1293.15107834145m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17065536--0.17027187) × cos(1.01283852) × R
    0.000383490000000014 × 0.529454832823138 × 6371000     		du = 1293.57187819052m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01304153)-sin(1.01283852))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.529282600790659-0.529454832823138)×R²
    abs(-0.17027187--0.17065536)×0.000172232032478736×R²
    0.000383490000000014×0.000172232032478736×6371000²
    0.000383490000000014×0.000172232032478736×40589641000000     		ar = 1672803.61934493m²