Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77469 / 83909
↖ ↑ ↗
← S 44.974513°
E 32.774963°		 ← 216.06 m → S 44.974513°
E 32.777710°		 →
↑
216.04 m
↓
↑
216.04 m
↓
S 44.976456°
E 32.774963°		 ← 216.06 m →
46 678 m²		 S 44.976456°
E 32.777710°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77469 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83909 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591045379638672 y=0.640178680419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591045379638672 × 217)
    floor (0.591045379638672 × 131072)
    floor (77469.5)     		tx = 77469
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640178680419922 × 217)
    floor (0.640178680419922 × 131072)
    floor (83909.5)     		ty = 83909
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77469 / 83909 ti = "17/77469/83909"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77469/83909.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77469 ÷ 217
    77469 ÷ 131072     		x = 0.591041564941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83909 ÷ 217
    83909 ÷ 131072     		y = 0.640174865722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591041564941406 × 2 - 1) × π
    0.182083129882812 × 3.1415926535     		Λ = 0.57203102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640174865722656 × 2 - 1) × π
    -0.280349731445312 × 3.1415926535     		Φ = -0.880744656719292
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57203102} λ = 0.57203102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.880744656719292))-π/2
    2×atan(0.414474155772199)-π/2
    2×0.392921491582987-π/2
    0.785842983165974-1.57079632675     		φ = -0.78495334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57203102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.774963°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78495334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.974513°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77469 KachelY 83909 0.57203102 -0.78495334 32.774963 -44.974513
    Oben rechts KachelX + 1 77470 KachelY 83909 0.57207896 -0.78495334 32.777710 -44.974513
    Unten links KachelX 77469 KachelY + 1 83910 0.57203102 -0.78498725 32.774963 -44.976456
    Unten rechts KachelX + 1 77470 KachelY + 1 83910 0.57207896 -0.78498725 32.777710 -44.976456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78495334--0.78498725) × R
    3.39099999999704e-05 × 6371000     		dl = 216.040609999811m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78495334--0.78498725) × R
    3.39099999999704e-05 × 6371000     		dr = 216.040609999811m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57203102-0.57207896) × cos(-0.78495334) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.707421248860091 × 6371000     		do = 216.064658425176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57203102-0.57207896) × cos(-0.78498725) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.707397281130761 × 6371000     		du = 216.057338063709m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78495334)-sin(-0.78498725))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707421248860091-0.707397281130761)×R²
    abs(0.57207896-0.57203102)×2.39677293297769e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39677293297769e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39677293297769e-05×40589641000000     		ar = 46677.9498623966m²