Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77469 / 58214
↖ ↑ ↗
← N 19.709829°
E 32.774963°		 ← 287.53 m → N 19.709829°
E 32.777710°		 →
↑
287.52 m
↓
↑
287.52 m
↓
N 19.707243°
E 32.774963°		 ← 287.54 m →
82 673 m²		 N 19.707243°
E 32.777710°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77469 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58214 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591045379638672 y=0.444141387939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591045379638672 × 217)
    floor (0.591045379638672 × 131072)
    floor (77469.5)     		tx = 77469
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444141387939453 × 217)
    floor (0.444141387939453 × 131072)
    floor (58214.5)     		ty = 58214
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77469 / 58214 ti = "17/77469/58214"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77469/58214.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77469 ÷ 217
    77469 ÷ 131072     		x = 0.591041564941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58214 ÷ 217
    58214 ÷ 131072     		y = 0.444137573242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591041564941406 × 2 - 1) × π
    0.182083129882812 × 3.1415926535     		Λ = 0.57203102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444137573242188 × 2 - 1) × π
    0.111724853515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.350993979018051
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57203102} λ = 0.57203102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.350993979018051))-π/2
    2×atan(1.4204787732094)-π/2
    2×0.957398868897467-π/2
    1.91479773779493-1.57079632675     		φ = 0.34400141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57203102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.774963°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34400141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.709829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77469 KachelY 58214 0.57203102 0.34400141 32.774963 19.709829
    Oben rechts KachelX + 1 77470 KachelY 58214 0.57207896 0.34400141 32.777710 19.709829
    Unten links KachelX 77469 KachelY + 1 58215 0.57203102 0.34395628 32.774963 19.707243
    Unten rechts KachelX + 1 77470 KachelY + 1 58215 0.57207896 0.34395628 32.777710 19.707243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34400141-0.34395628) × R
    4.51300000000043e-05 × 6371000     		dl = 287.523230000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34400141-0.34395628) × R
    4.51300000000043e-05 × 6371000     		dr = 287.523230000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57203102-0.57207896) × cos(0.34400141) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.941412703158611 × 6371000     		do = 287.531671508097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57203102-0.57207896) × cos(0.34395628) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.941427922597501 × 6371000     		du = 287.536319916482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34400141)-sin(0.34395628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941412703158611-0.941427922597501)×R²
    abs(0.57207896-0.57203102)×1.5219438889158e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.5219438889158e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.5219438889158e-05×40589641000000     		ar = 82672.7031961174m²