Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77469 / 58149
↖ ↑ ↗
← N 19.877809°
E 32.774963°		 ← 287.23 m → N 19.877809°
E 32.777710°		 →
↑
287.20 m
↓
↑
287.20 m
↓
N 19.875226°
E 32.774963°		 ← 287.23 m →
82 494 m²		 N 19.875226°
E 32.777710°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77469 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58149 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591045379638672 y=0.443645477294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591045379638672 × 217)
    floor (0.591045379638672 × 131072)
    floor (77469.5)     		tx = 77469
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443645477294922 × 217)
    floor (0.443645477294922 × 131072)
    floor (58149.5)     		ty = 58149
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77469 / 58149 ti = "17/77469/58149"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77469/58149.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77469 ÷ 217
    77469 ÷ 131072     		x = 0.591041564941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58149 ÷ 217
    58149 ÷ 131072     		y = 0.443641662597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591041564941406 × 2 - 1) × π
    0.182083129882812 × 3.1415926535     		Λ = 0.57203102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443641662597656 × 2 - 1) × π
    0.112716674804688 × 3.1415926535     		Φ = 0.354109877493355
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57203102} λ = 0.57203102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.354109877493355))-π/2
    2×atan(1.42491174360932)-π/2
    2×0.958864769636935-π/2
    1.91772953927387-1.57079632675     		φ = 0.34693321
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57203102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.774963°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34693321 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.877809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77469 KachelY 58149 0.57203102 0.34693321 32.774963 19.877809
    Oben rechts KachelX + 1 77470 KachelY 58149 0.57207896 0.34693321 32.777710 19.877809
    Unten links KachelX 77469 KachelY + 1 58150 0.57203102 0.34688813 32.774963 19.875226
    Unten rechts KachelX + 1 77470 KachelY + 1 58150 0.57207896 0.34688813 32.777710 19.875226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34693321-0.34688813) × R
    4.50799999999751e-05 × 6371000     		dl = 287.204679999842m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34693321-0.34688813) × R
    4.50799999999751e-05 × 6371000     		dr = 287.204679999842m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57203102-0.57207896) × cos(0.34693321) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.940419889274813 × 6371000     		do = 287.228440592955m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57203102-0.57207896) × cos(0.34688813) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.940435216210799 × 6371000     		du = 287.23312183372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34693321)-sin(0.34688813))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940419889274813-0.940435216210799)×R²
    abs(0.57207896-0.57203102)×1.53269359862707e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.53269359862707e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.53269359862707e-05×40589641000000     		ar = 82494.0246183946m²