Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77464 / 57531
↖ ↑ ↗
← N 21.465849°
E 32.761231°		 ← 284.24 m → N 21.465849°
E 32.763977°		 →
↑
284.21 m
↓
↑
284.21 m
↓
N 21.463294°
E 32.761231°		 ← 284.25 m →
80 785 m²		 N 21.463294°
E 32.763977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57531 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591007232666016 y=0.438930511474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591007232666016 × 217)
    floor (0.591007232666016 × 131072)
    floor (77464.5)     		tx = 77464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438930511474609 × 217)
    floor (0.438930511474609 × 131072)
    floor (57531.5)     		ty = 57531
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77464 / 57531 ti = "17/77464/57531"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77464/57531.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77464 ÷ 217
    77464 ÷ 131072     		x = 0.59100341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57531 ÷ 217
    57531 ÷ 131072     		y = 0.438926696777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59100341796875 × 2 - 1) × π
    0.1820068359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.57179134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438926696777344 × 2 - 1) × π
    0.122146606445312 × 3.1415926535     		Φ = 0.38373488145855
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57179134} λ = 0.57179134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.38373488145855))-π/2
    2×atan(1.46775626069568)-π/2
    2×0.972723038928108-π/2
    1.94544607785622-1.57079632675     		φ = 0.37464975
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57179134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.761231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37464975 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.465849°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77464 KachelY 57531 0.57179134 0.37464975 32.761231 21.465849
    Oben rechts KachelX + 1 77465 KachelY 57531 0.57183928 0.37464975 32.763977 21.465849
    Unten links KachelX 77464 KachelY + 1 57532 0.57179134 0.37460514 32.761231 21.463294
    Unten rechts KachelX + 1 77465 KachelY + 1 57532 0.57183928 0.37460514 32.763977 21.463294
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37464975-0.37460514) × R
    4.46100000000005e-05 × 6371000     		dl = 284.210310000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37464975-0.37460514) × R
    4.46100000000005e-05 × 6371000     		dr = 284.210310000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57179134-0.57183928) × cos(0.37464975) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.930635851787964 × 6371000     		do = 284.240143702683m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57179134-0.57183928) × cos(0.37460514) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.930652175739614 × 6371000     		du = 284.245129457695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37464975)-sin(0.37460514))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930635851787964-0.930652175739614)×R²
    abs(0.57183928-0.57179134)×1.63239516499658e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63239516499658e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63239516499658e-05×40589641000000     		ar = 80784.6878710891m²