Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77463 / 59292
↖ ↑ ↗
← N 16.899172°
E 32.758484°		 ← 292.24 m → N 16.899172°
E 32.761231°		 →
↑
292.17 m
↓
↑
292.17 m
↓
N 16.896544°
E 32.758484°		 ← 292.24 m →
85 385 m²		 N 16.896544°
E 32.761231°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77463 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59292 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590999603271484 y=0.452365875244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590999603271484 × 217)
    floor (0.590999603271484 × 131072)
    floor (77463.5)     		tx = 77463
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452365875244141 × 217)
    floor (0.452365875244141 × 131072)
    floor (59292.5)     		ty = 59292
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77463 / 59292 ti = "17/77463/59292"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77463/59292.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77463 ÷ 217
    77463 ÷ 131072     		x = 0.590995788574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59292 ÷ 217
    59292 ÷ 131072     		y = 0.452362060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.590995788574219 × 2 - 1) × π
    0.181991577148438 × 3.1415926535     		Λ = 0.57174340
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.452362060546875 × 2 - 1) × π
    0.09527587890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.299318001227631
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57174340} λ = 0.57174340}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.299318001227631))-π/2
    2×atan(1.34893851937974)-π/2
    2×0.932871259475173-π/2
    1.86574251895035-1.57079632675     		φ = 0.29494619
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57174340} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.758484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29494619 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.899172°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77463 KachelY 59292 0.57174340 0.29494619 32.758484 16.899172
    Oben rechts KachelX + 1 77464 KachelY 59292 0.57179134 0.29494619 32.761231 16.899172
    Unten links KachelX 77463 KachelY + 1 59293 0.57174340 0.29490033 32.758484 16.896544
    Unten rechts KachelX + 1 77464 KachelY + 1 59293 0.57179134 0.29490033 32.761231 16.896544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29494619-0.29490033) × R
    4.58600000000087e-05 × 6371000     		dl = 292.174060000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29494619-0.29490033) × R
    4.58600000000087e-05 × 6371000     		dr = 292.174060000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57174340-0.57179134) × cos(0.29494619) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.956817785647123 × 6371000     		do = 292.236780226242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57174340-0.57179134) × cos(0.29490033) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.956831115609339 × 6371000     		du = 292.240851539816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29494619)-sin(0.29490033))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.956817785647123-0.956831115609339)×R²
    abs(0.57179134-0.57174340)×1.33299622159244e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.33299622159244e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.33299622159244e-05×40589641000000     		ar = 85384.6013411828m²