Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77460 / 60421
↖ ↑ ↗
← N 13.910074°
E 32.750244°		 ← 296.47 m → N 13.910074°
E 32.752991°		 →
↑
296.44 m
↓
↑
296.44 m
↓
N 13.907408°
E 32.750244°		 ← 296.47 m →
87 887 m²		 N 13.907408°
E 32.752991°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77460 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590976715087891 y=0.460979461669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590976715087891 × 217)
    floor (0.590976715087891 × 131072)
    floor (77460.5)     		tx = 77460
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.460979461669922 × 217)
    floor (0.460979461669922 × 131072)
    floor (60421.5)     		ty = 60421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77460 / 60421 ti = "17/77460/60421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77460/60421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77460 ÷ 217
    77460 ÷ 131072     		x = 0.590972900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60421 ÷ 217
    60421 ÷ 131072     		y = 0.460975646972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.590972900390625 × 2 - 1) × π
    0.18194580078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.57159959
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.460975646972656 × 2 - 1) × π
    0.0780487060546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.245197241556587
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57159959} λ = 0.57159959}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.245197241556587))-π/2
    2×atan(1.2778733380755)-π/2
    2×0.906786459513964-π/2
    1.81357291902793-1.57079632675     		φ = 0.24277659
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57159959} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.750244°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24277659 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.910074°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77460 KachelY 60421 0.57159959 0.24277659 32.750244 13.910074
    Oben rechts KachelX + 1 77461 KachelY 60421 0.57164753 0.24277659 32.752991 13.910074
    Unten links KachelX 77460 KachelY + 1 60422 0.57159959 0.24273006 32.750244 13.907408
    Unten rechts KachelX + 1 77461 KachelY + 1 60422 0.57164753 0.24273006 32.752991 13.907408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24277659-0.24273006) × R
    4.65299999999891e-05 × 6371000     		dl = 296.44262999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24277659-0.24273006) × R
    4.65299999999891e-05 × 6371000     		dr = 296.44262999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57159959-0.57164753) × cos(0.24277659) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.970674228725207 × 6371000     		do = 296.468894607131m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57159959-0.57164753) × cos(0.24273006) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.97068541342659 × 6371000     		du = 296.472310702828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24277659)-sin(0.24273006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.970674228725207-0.97068541342659)×R²
    abs(0.57164753-0.57159959)×1.11847013832822e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.11847013832822e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.11847013832822e-05×40589641000000     		ar = 87886.5251846115m²