Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7746 / 9314
↖ ↑ ↗
← S 23.926013°
W  9.799805°		 ← 2 233.33 m → S 23.926013°
W  9.777832°		 →
↑
2 233.16 m
↓
↑
2 233.16 m
↓
S 23.946096°
W  9.799805°		 ← 2 232.98 m →
4 986 996 m²		 S 23.946096°
W  9.777832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7746 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472808837890625 y=0.568511962890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472808837890625 × 214)
    floor (0.472808837890625 × 16384)
    floor (7746.5)     		tx = 7746
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.568511962890625 × 214)
    floor (0.568511962890625 × 16384)
    floor (9314.5)     		ty = 9314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7746 / 9314 ti = "14/7746/9314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7746/9314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7746 ÷ 214
    7746 ÷ 16384     		x = 0.4727783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9314 ÷ 214
    9314 ÷ 16384     		y = 0.5684814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4727783203125 × 2 - 1) × π
    -0.054443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17103886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5684814453125 × 2 - 1) × π
    -0.136962890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.430281610989624
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17103886} λ = -0.17103886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.430281610989624))-π/2
    2×atan(0.650325930005201)-π/2
    2×0.576604311252422-π/2
    1.15320862250484-1.57079632675     		φ = -0.41758770
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17103886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.799805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41758770 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.926013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7746 KachelY 9314 -0.17103886 -0.41758770 -9.799805 -23.926013
    Oben rechts KachelX + 1 7747 KachelY 9314 -0.17065536 -0.41758770 -9.777832 -23.926013
    Unten links KachelX 7746 KachelY + 1 9315 -0.17103886 -0.41793822 -9.799805 -23.946096
    Unten rechts KachelX + 1 7747 KachelY + 1 9315 -0.17065536 -0.41793822 -9.777832 -23.946096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41758770--0.41793822) × R
    0.000350520000000021 × 6371000     		dl = 2233.16292000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41758770--0.41793822) × R
    0.000350520000000021 × 6371000     		dr = 2233.16292000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17103886--0.17065536) × cos(-0.41758770) × R
    0.000383499999999981 × 0.91406992318091 × 6371000     		do = 2233.32739080446m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17103886--0.17065536) × cos(-0.41793822) × R
    0.000383499999999981 × 0.913927711322595 × 6371000     		du = 2232.97992762859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41758770)-sin(-0.41793822))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91406992318091-0.913927711322595)×R²
    abs(-0.17065536--0.17103886)×0.000142211858314867×R²
    0.000383499999999981×0.000142211858314867×6371000²
    0.000383499999999981×0.000142211858314867×40589641000000     		ar = 4986995.9974856m²