Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7746 / 4302
↖ ↑ ↗
← N 64.642704°
W  9.799805°		 ← 1 046.36 m → N 64.642704°
W  9.777832°		 →
↑
1 046.56 m
↓
↑
1 046.56 m
↓
N 64.633292°
W  9.799805°		 ← 1 046.73 m →
1 095 275 m²		 N 64.633292°
W  9.777832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7746 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4302 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472808837890625 y=0.262603759765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472808837890625 × 214)
    floor (0.472808837890625 × 16384)
    floor (7746.5)     		tx = 7746
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262603759765625 × 214)
    floor (0.262603759765625 × 16384)
    floor (4302.5)     		ty = 4302
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7746 / 4302 ti = "14/7746/4302"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7746/4302.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7746 ÷ 214
    7746 ÷ 16384     		x = 0.4727783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4302 ÷ 214
    4302 ÷ 16384     		y = 0.2625732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4727783203125 × 2 - 1) × π
    -0.054443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17103886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2625732421875 × 2 - 1) × π
    0.474853515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.49179631617615
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17103886} λ = -0.17103886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49179631617615))-π/2
    2×atan(4.44507310845091)-π/2
    2×1.34951217292399-π/2
    2.69902434584799-1.57079632675     		φ = 1.12822802
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17103886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.799805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12822802 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.642704°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7746 KachelY 4302 -0.17103886 1.12822802 -9.799805 64.642704
    Oben rechts KachelX + 1 7747 KachelY 4302 -0.17065536 1.12822802 -9.777832 64.642704
    Unten links KachelX 7746 KachelY + 1 4303 -0.17103886 1.12806375 -9.799805 64.633292
    Unten rechts KachelX + 1 7747 KachelY + 1 4303 -0.17065536 1.12806375 -9.777832 64.633292
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12822802-1.12806375) × R
    0.000164270000000188 × 6371000     		dl = 1046.5641700012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12822802-1.12806375) × R
    0.000164270000000188 × 6371000     		dr = 1046.5641700012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17103886--0.17065536) × cos(1.12822802) × R
    0.000383499999999981 × 0.428261737565633 × 6371000     		do = 1046.3626957667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17103886--0.17065536) × cos(1.12806375) × R
    0.000383499999999981 × 0.428410175150409 × 6371000     		du = 1046.72537012618m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12822802)-sin(1.12806375))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428261737565633-0.428410175150409)×R²
    abs(-0.17065536--0.17103886)×0.000148437584776173×R²
    0.000383499999999981×0.000148437584776173×6371000²
    0.000383499999999981×0.000148437584776173×40589641000000     		ar = 1095275.48967468m²