Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7746 / 4281
↖ ↑ ↗
← N 64.839597°
W  9.799805°		 ← 1 038.77 m → N 64.839597°
W  9.777832°		 →
↑
1 038.98 m
↓
↑
1 038.98 m
↓
N 64.830254°
W  9.799805°		 ← 1 039.13 m →
1 079 451 m²		 N 64.830254°
W  9.777832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7746 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4281 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472808837890625 y=0.261322021484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472808837890625 × 214)
    floor (0.472808837890625 × 16384)
    floor (7746.5)     		tx = 7746
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261322021484375 × 214)
    floor (0.261322021484375 × 16384)
    floor (4281.5)     		ty = 4281
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7746 / 4281 ti = "14/7746/4281"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7746/4281.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7746 ÷ 214
    7746 ÷ 16384     		x = 0.4727783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4281 ÷ 214
    4281 ÷ 16384     		y = 0.26129150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4727783203125 × 2 - 1) × π
    -0.054443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17103886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26129150390625 × 2 - 1) × π
    0.4774169921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.49984971531232
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17103886} λ = -0.17103886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49984971531232))-π/2
    2×atan(4.48101559170387)-π/2
    2×1.35123039113762-π/2
    2.70246078227524-1.57079632675     		φ = 1.13166446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17103886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.799805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13166446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.839597°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7746 KachelY 4281 -0.17103886 1.13166446 -9.799805 64.839597
    Oben rechts KachelX + 1 7747 KachelY 4281 -0.17065536 1.13166446 -9.777832 64.839597
    Unten links KachelX 7746 KachelY + 1 4282 -0.17103886 1.13150138 -9.799805 64.830254
    Unten rechts KachelX + 1 7747 KachelY + 1 4282 -0.17065536 1.13150138 -9.777832 64.830254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13166446-1.13150138) × R
    0.000163080000000093 × 6371000     		dl = 1038.98268000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13166446-1.13150138) × R
    0.000163080000000093 × 6371000     		dr = 1038.98268000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17103886--0.17065536) × cos(1.13166446) × R
    0.000383499999999981 × 0.425153859697695 × 6371000     		do = 1038.76928459134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17103886--0.17065536) × cos(1.13150138) × R
    0.000383499999999981 × 0.425301461191619 × 6371000     		du = 1039.12991614802m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13166446)-sin(1.13150138))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425153859697695-0.425301461191619)×R²
    abs(-0.17065536--0.17103886)×0.000147601493923843×R²
    0.000383499999999981×0.000147601493923843×6371000²
    0.000383499999999981×0.000147601493923843×40589641000000     		ar = 1079450.6425698m²