Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7746 / 1628
↖ ↑ ↗
← N 72.867931°
E160.400391°		 ← 1 439.44 m → N 72.867931°
E160.444336°		 →
↑
1 439.97 m
↓
↑
1 439.97 m
↓
N 72.854981°
E160.400391°		 ← 1 440.50 m →
2 073 515 m²		 N 72.854981°
E160.444336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7746 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1628 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.94561767578125 y=0.19879150390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.94561767578125 × 213)
    floor (0.94561767578125 × 8192)
    floor (7746.5)     		tx = 7746
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.19879150390625 × 213)
    floor (0.19879150390625 × 8192)
    floor (1628.5)     		ty = 1628
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7746 / 1628 ti = "13/7746/1628"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7746/1628.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7746 ÷ 213
    7746 ÷ 8192     		x = 0.945556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1628 ÷ 213
    1628 ÷ 8192     		y = 0.19873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945556640625 × 2 - 1) × π
    0.89111328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.79951494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19873046875 × 2 - 1) × π
    0.6025390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.89293229219678
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79951494} λ = 2.79951494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89293229219678))-π/2
    2×atan(6.63880708979308)-π/2
    2×1.42129081654708-π/2
    2.84258163309417-1.57079632675     		φ = 1.27178531
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79951494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.400391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27178531 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.867931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7746 KachelY 1628 2.79951494 1.27178531 160.400391 72.867931
    Oben rechts KachelX + 1 7747 KachelY 1628 2.80028193 1.27178531 160.444336 72.867931
    Unten links KachelX 7746 KachelY + 1 1629 2.79951494 1.27155929 160.400391 72.854981
    Unten rechts KachelX + 1 7747 KachelY + 1 1629 2.80028193 1.27155929 160.444336 72.854981
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27178531-1.27155929) × R
    0.00022602000000016 × 6371000     		dl = 1439.97342000102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27178531-1.27155929) × R
    0.00022602000000016 × 6371000     		dr = 1439.97342000102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79951494-2.80028193) × cos(1.27178531) × R
    0.000766990000000245 × 0.29457525055005 × 6371000     		do = 1439.43998521335m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79951494-2.80028193) × cos(1.27155929) × R
    0.000766990000000245 × 0.294791234129309 × 6371000     		du = 1440.49538752415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27178531)-sin(1.27155929))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29457525055005-0.294791234129309)×R²
    abs(2.80028193-2.79951494)×0.000215983579258505×R²
    0.000766990000000245×0.000215983579258505×6371000²
    0.000766990000000245×0.000215983579258505×40589641000000     		ar = 2073515.20285946m²