Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77458 / 59282
↖ ↑ ↗
← N 16.925450°
E 32.744751°		 ← 292.14 m → N 16.925450°
E 32.747497°		 →
↑
292.17 m
↓
↑
292.17 m
↓
N 16.922822°
E 32.744751°		 ← 292.14 m →
85 355 m²		 N 16.922822°
E 32.747497°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77458 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590961456298828 y=0.452289581298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590961456298828 × 217)
    floor (0.590961456298828 × 131072)
    floor (77458.5)     		tx = 77458
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452289581298828 × 217)
    floor (0.452289581298828 × 131072)
    floor (59282.5)     		ty = 59282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77458 / 59282 ti = "17/77458/59282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77458/59282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77458 ÷ 217
    77458 ÷ 131072     		x = 0.590957641601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59282 ÷ 217
    59282 ÷ 131072     		y = 0.452285766601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.590957641601562 × 2 - 1) × π
    0.181915283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.57150372
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.452285766601562 × 2 - 1) × π
    0.095428466796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.299797370223831
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57150372} λ = 0.57150372}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.299797370223831))-π/2
    2×atan(1.3495853136979)-π/2
    2×0.933100577879923-π/2
    1.86620115575985-1.57079632675     		φ = 0.29540483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57150372} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.744751°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29540483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.925450°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77458 KachelY 59282 0.57150372 0.29540483 32.744751 16.925450
    Oben rechts KachelX + 1 77459 KachelY 59282 0.57155165 0.29540483 32.747497 16.925450
    Unten links KachelX 77458 KachelY + 1 59283 0.57150372 0.29535897 32.744751 16.922822
    Unten rechts KachelX + 1 77459 KachelY + 1 59283 0.57155165 0.29535897 32.747497 16.922822
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29540483-0.29535897) × R
    4.58600000000087e-05 × 6371000     		dl = 292.174060000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29540483-0.29535897) × R
    4.58600000000087e-05 × 6371000     		dr = 292.174060000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57150372-0.57155165) × cos(0.29540483) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.956684363706831 × 6371000     		do = 292.135079370278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57150372-0.57155165) × cos(0.29535897) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.956697713792753 × 6371000     		du = 292.139155979616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29540483)-sin(0.29535897))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.956684363706831-0.956697713792753)×R²
    abs(0.57155165-0.57150372)×1.33500859224034e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.33500859224034e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.33500859224034e-05×40589641000000     		ar = 85354.8877627609m²