Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77457 / 57555
↖ ↑ ↗
← N 21.404491°
E 32.742004°		 ← 284.36 m → N 21.404491°
E 32.744751°		 →
↑
284.34 m
↓
↑
284.34 m
↓
N 21.401934°
E 32.742004°		 ← 284.36 m →
80 855 m²		 N 21.401934°
E 32.744751°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590953826904297 y=0.439113616943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590953826904297 × 217)
    floor (0.590953826904297 × 131072)
    floor (77457.5)     		tx = 77457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439113616943359 × 217)
    floor (0.439113616943359 × 131072)
    floor (57555.5)     		ty = 57555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77457 / 57555 ti = "17/77457/57555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77457/57555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77457 ÷ 217
    77457 ÷ 131072     		x = 0.590950012207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57555 ÷ 217
    57555 ÷ 131072     		y = 0.439109802246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.590950012207031 × 2 - 1) × π
    0.181900024414062 × 3.1415926535     		Λ = 0.57145578
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439109802246094 × 2 - 1) × π
    0.121780395507812 × 3.1415926535     		Φ = 0.382584395867668
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57145578} λ = 0.57145578}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.382584395867668))-π/2
    2×atan(1.46606859926805)-π/2
    2×0.972187584752171-π/2
    1.94437516950434-1.57079632675     		φ = 0.37357884
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57145578} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.742004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37357884 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.404491°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77457 KachelY 57555 0.57145578 0.37357884 32.742004 21.404491
    Oben rechts KachelX + 1 77458 KachelY 57555 0.57150372 0.37357884 32.744751 21.404491
    Unten links KachelX 77457 KachelY + 1 57556 0.57145578 0.37353421 32.742004 21.401934
    Unten rechts KachelX + 1 77458 KachelY + 1 57556 0.57150372 0.37353421 32.744751 21.401934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37357884-0.37353421) × R
    4.46300000000455e-05 × 6371000     		dl = 284.33773000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37357884-0.37353421) × R
    4.46300000000455e-05 × 6371000     		dr = 284.33773000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57145578-0.57150372) × cos(0.37357884) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.931027213933546 × 6371000     		do = 284.359675776264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57145578-0.57150372) × cos(0.37353421) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.931043500714078 × 6371000     		du = 284.36465017826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37357884)-sin(0.37353421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.931027213933546-0.931043500714078)×R²
    abs(0.57150372-0.57145578)×1.62867805312272e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.62867805312272e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.62867805312272e-05×40589641000000     		ar = 80854.8919324m²