Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77455 / 59280
↖ ↑ ↗
← N 16.930705°
E 32.736511°		 ← 292.13 m → N 16.930705°
E 32.739258°		 →
↑
292.17 m
↓
↑
292.17 m
↓
N 16.928078°
E 32.736511°		 ← 292.13 m →
85 353 m²		 N 16.928078°
E 32.739258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590938568115234 y=0.452274322509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590938568115234 × 217)
    floor (0.590938568115234 × 131072)
    floor (77455.5)     		tx = 77455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452274322509766 × 217)
    floor (0.452274322509766 × 131072)
    floor (59280.5)     		ty = 59280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77455 / 59280 ti = "17/77455/59280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77455/59280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77455 ÷ 217
    77455 ÷ 131072     		x = 0.590934753417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59280 ÷ 217
    59280 ÷ 131072     		y = 0.4522705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.590934753417969 × 2 - 1) × π
    0.181869506835938 × 3.1415926535     		Λ = 0.57135991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4522705078125 × 2 - 1) × π
    0.095458984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.299893244023071
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57135991} λ = 0.57135991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.299893244023071))-π/2
    2×atan(1.34971470977207)-π/2
    2×0.933146437722173-π/2
    1.86629287544435-1.57079632675     		φ = 0.29549655
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57135991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.736511°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29549655 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.930705°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77455 KachelY 59280 0.57135991 0.29549655 32.736511 16.930705
    Oben rechts KachelX + 1 77456 KachelY 59280 0.57140784 0.29549655 32.739258 16.930705
    Unten links KachelX 77455 KachelY + 1 59281 0.57135991 0.29545069 32.736511 16.928078
    Unten rechts KachelX + 1 77456 KachelY + 1 59281 0.57140784 0.29545069 32.739258 16.928078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29549655-0.29545069) × R
    4.58600000000087e-05 × 6371000     		dl = 292.174060000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29549655-0.29545069) × R
    4.58600000000087e-05 × 6371000     		dr = 292.174060000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57135991-0.57140784) × cos(0.29549655) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.956657657498892 × 6371000     		do = 292.126924309085m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57135991-0.57140784) × cos(0.29545069) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.956671011608868 × 6371000     		du = 292.131002147216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29549655)-sin(0.29545069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.956657657498892-0.956671011608868)×R²
    abs(0.57140784-0.57135991)×1.33541099758272e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.33541099758272e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.33541099758272e-05×40589641000000     		ar = 85352.505244916m²