Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77453 / 60303
↖ ↑ ↗
← N 14.224451°
E 32.731018°		 ← 296.06 m → N 14.224451°
E 32.733765°		 →
↑
296 m
↓
↑
296 m
↓
N 14.221789°
E 32.731018°		 ← 296.07 m →
87 634 m²		 N 14.221789°
E 32.733765°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60303 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590923309326172 y=0.460079193115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590923309326172 × 217)
    floor (0.590923309326172 × 131072)
    floor (77453.5)     		tx = 77453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.460079193115234 × 217)
    floor (0.460079193115234 × 131072)
    floor (60303.5)     		ty = 60303
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77453 / 60303 ti = "17/77453/60303"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77453/60303.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77453 ÷ 217
    77453 ÷ 131072     		x = 0.590919494628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60303 ÷ 217
    60303 ÷ 131072     		y = 0.460075378417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.590919494628906 × 2 - 1) × π
    0.181838989257812 × 3.1415926535     		Λ = 0.57126403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.460075378417969 × 2 - 1) × π
    0.0798492431640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.250853795711754
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57126403} λ = 0.57126403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.250853795711754))-π/2
    2×atan(1.28512218022167)-π/2
    2×0.909529915665871-π/2
    1.81905983133174-1.57079632675     		φ = 0.24826350
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57126403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.731018°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24826350 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.224451°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77453 KachelY 60303 0.57126403 0.24826350 32.731018 14.224451
    Oben rechts KachelX + 1 77454 KachelY 60303 0.57131197 0.24826350 32.733765 14.224451
    Unten links KachelX 77453 KachelY + 1 60304 0.57126403 0.24821704 32.731018 14.221789
    Unten rechts KachelX + 1 77454 KachelY + 1 60304 0.57131197 0.24821704 32.733765 14.221789
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24826350-0.24821704) × R
    4.64599999999982e-05 × 6371000     		dl = 295.996659999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24826350-0.24821704) × R
    4.64599999999982e-05 × 6371000     		dr = 295.996659999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57126403-0.57131197) × cos(0.24826350) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.969340577625462 × 6371000     		do = 296.06156323309m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57126403-0.57131197) × cos(0.24821704) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.969351992780225 × 6371000     		du = 296.065049715181m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24826350)-sin(0.24821704))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.969340577625462-0.969351992780225)×R²
    abs(0.57131197-0.57126403)×1.14151547628838e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.14151547628838e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.14151547628838e-05×40589641000000     		ar = 87633.7498806891m²