Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77453 / 60302
↖ ↑ ↗
← N 14.227113°
E 32.731018°		 ← 296.06 m → N 14.227113°
E 32.733765°		 →
↑
296.06 m
↓
↑
296.06 m
↓
N 14.224451°
E 32.731018°		 ← 296.06 m →
87 652 m²		 N 14.224451°
E 32.733765°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60302 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590923309326172 y=0.460071563720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590923309326172 × 217)
    floor (0.590923309326172 × 131072)
    floor (77453.5)     		tx = 77453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.460071563720703 × 217)
    floor (0.460071563720703 × 131072)
    floor (60302.5)     		ty = 60302
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77453 / 60302 ti = "17/77453/60302"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77453/60302.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77453 ÷ 217
    77453 ÷ 131072     		x = 0.590919494628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60302 ÷ 217
    60302 ÷ 131072     		y = 0.460067749023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.590919494628906 × 2 - 1) × π
    0.181838989257812 × 3.1415926535     		Λ = 0.57126403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.460067749023438 × 2 - 1) × π
    0.079864501953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.250901732611374
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57126403} λ = 0.57126403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.250901732611374))-π/2
    2×atan(1.28518378647122)-π/2
    2×0.909553149119985-π/2
    1.81910629823997-1.57079632675     		φ = 0.24830997
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57126403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.731018°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24830997 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.227113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77453 KachelY 60302 0.57126403 0.24830997 32.731018 14.227113
    Oben rechts KachelX + 1 77454 KachelY 60302 0.57131197 0.24830997 32.733765 14.227113
    Unten links KachelX 77453 KachelY + 1 60303 0.57126403 0.24826350 32.731018 14.224451
    Unten rechts KachelX + 1 77454 KachelY + 1 60303 0.57131197 0.24826350 32.733765 14.224451
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24830997-0.24826350) × R
    4.64699999999929e-05 × 6371000     		dl = 296.060369999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24830997-0.24826350) × R
    4.64699999999929e-05 × 6371000     		dr = 296.060369999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57126403-0.57131197) × cos(0.24830997) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.969329157920686 × 6371000     		do = 296.058075361308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57126403-0.57131197) × cos(0.24826350) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.969340577625462 × 6371000     		du = 296.06156323309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24830997)-sin(0.24826350))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.969329157920686-0.969340577625462)×R²
    abs(0.57131197-0.57126403)×1.14197047762499e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.14197047762499e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.14197047762499e-05×40589641000000     		ar = 87651.5796589901m²