Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77452 / 57516
↖ ↑ ↗
← N 21.504186°
E 32.728272°		 ← 284.11 m → N 21.504186°
E 32.731018°		 →
↑
284.15 m
↓
↑
284.15 m
↓
N 21.501630°
E 32.728272°		 ← 284.11 m →
80 728 m²		 N 21.501630°
E 32.731018°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77452 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57516 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590915679931641 y=0.438816070556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590915679931641 × 217)
    floor (0.590915679931641 × 131072)
    floor (77452.5)     		tx = 77452
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438816070556641 × 217)
    floor (0.438816070556641 × 131072)
    floor (57516.5)     		ty = 57516
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77452 / 57516 ti = "17/77452/57516"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77452/57516.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77452 ÷ 217
    77452 ÷ 131072     		x = 0.590911865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57516 ÷ 217
    57516 ÷ 131072     		y = 0.438812255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.590911865234375 × 2 - 1) × π
    0.18182373046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57121610
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438812255859375 × 2 - 1) × π
    0.12237548828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.38445393495285
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57121610} λ = 0.57121610}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.38445393495285))-π/2
    2×atan(1.46881203549751)-π/2
    2×0.973057583366441-π/2
    1.94611516673288-1.57079632675     		φ = 0.37531884
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57121610} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.728272°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37531884 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.504186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77452 KachelY 57516 0.57121610 0.37531884 32.728272 21.504186
    Oben rechts KachelX + 1 77453 KachelY 57516 0.57126403 0.37531884 32.731018 21.504186
    Unten links KachelX 77452 KachelY + 1 57517 0.57121610 0.37527424 32.728272 21.501630
    Unten rechts KachelX + 1 77453 KachelY + 1 57517 0.57126403 0.37527424 32.731018 21.501630
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37531884-0.37527424) × R
    4.46000000000057e-05 × 6371000     		dl = 284.146600000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37531884-0.37527424) × R
    4.46000000000057e-05 × 6371000     		dr = 284.146600000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57121610-0.57126403) × cos(0.37531884) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.930390792283908 × 6371000     		do = 284.106021025296m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57121610-0.57126403) × cos(0.37527424) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.930407140344585 × 6371000     		du = 284.111013102291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37531884)-sin(0.37527424))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930390792283908-0.930407140344585)×R²
    abs(0.57126403-0.57121610)×1.63480606771849e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.63480606771849e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.63480606771849e-05×40589641000000     		ar = 80728.4691681131m²