Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77451 / 83941
↖ ↑ ↗
← S 45.036656°
E 32.725525°		 ← 215.83 m → S 45.036656°
E 32.728272°		 →
↑
215.79 m
↓
↑
215.79 m
↓
S 45.038597°
E 32.725525°		 ← 215.82 m →
46 572 m²		 S 45.038597°
E 32.728272°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77451 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83941 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590908050537109 y=0.640422821044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590908050537109 × 217)
    floor (0.590908050537109 × 131072)
    floor (77451.5)     		tx = 77451
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640422821044922 × 217)
    floor (0.640422821044922 × 131072)
    floor (83941.5)     		ty = 83941
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77451 / 83941 ti = "17/77451/83941"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77451/83941.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77451 ÷ 217
    77451 ÷ 131072     		x = 0.590904235839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83941 ÷ 217
    83941 ÷ 131072     		y = 0.640419006347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.590904235839844 × 2 - 1) × π
    0.181808471679688 × 3.1415926535     		Λ = 0.57116816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640419006347656 × 2 - 1) × π
    -0.280838012695312 × 3.1415926535     		Φ = -0.882278637507134
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57116816} λ = 0.57116816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.882278637507134))-π/2
    2×atan(0.413838847779893)-π/2
    2×0.392379200419713-π/2
    0.784758400839425-1.57079632675     		φ = -0.78603793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57116816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.725525°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78603793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.036656°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77451 KachelY 83941 0.57116816 -0.78603793 32.725525 -45.036656
    Oben rechts KachelX + 1 77452 KachelY 83941 0.57121610 -0.78603793 32.728272 -45.036656
    Unten links KachelX 77451 KachelY + 1 83942 0.57116816 -0.78607180 32.725525 -45.038597
    Unten rechts KachelX + 1 77452 KachelY + 1 83942 0.57121610 -0.78607180 32.728272 -45.038597
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78603793--0.78607180) × R
    3.38699999999914e-05 × 6371000     		dl = 215.785769999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78603793--0.78607180) × R
    3.38699999999914e-05 × 6371000     		dr = 215.785769999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57116816-0.57121610) × cos(-0.78603793) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.706654253204507 × 6371000     		do = 215.830398208992m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57116816-0.57121610) × cos(-0.78607180) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.706630287775184 × 6371000     		du = 215.823078550007m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78603793)-sin(-0.78607180))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706654253204507-0.706630287775184)×R²
    abs(0.57121610-0.57116816)×2.39654293230362e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39654293230362e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39654293230362e-05×40589641000000     		ar = 46572.3389323325m²