Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77451 / 83940
↖ ↑ ↗
← S 45.034715°
E 32.725525°		 ← 215.84 m → S 45.034715°
E 32.728272°		 →
↑
215.85 m
↓
↑
215.85 m
↓
S 45.036656°
E 32.725525°		 ← 215.83 m →
46 588 m²		 S 45.036656°
E 32.728272°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77451 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83940 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590908050537109 y=0.640415191650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590908050537109 × 217)
    floor (0.590908050537109 × 131072)
    floor (77451.5)     		tx = 77451
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640415191650391 × 217)
    floor (0.640415191650391 × 131072)
    floor (83940.5)     		ty = 83940
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77451 / 83940 ti = "17/77451/83940"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77451/83940.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77451 ÷ 217
    77451 ÷ 131072     		x = 0.590904235839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83940 ÷ 217
    83940 ÷ 131072     		y = 0.640411376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.590904235839844 × 2 - 1) × π
    0.181808471679688 × 3.1415926535     		Λ = 0.57116816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640411376953125 × 2 - 1) × π
    -0.28082275390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.882230700607513
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57116816} λ = 0.57116816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.882230700607513))-π/2
    2×atan(0.413858686406695)-π/2
    2×0.392396138114025-π/2
    0.78479227622805-1.57079632675     		φ = -0.78600405
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57116816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.725525°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78600405 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.034715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77451 KachelY 83940 0.57116816 -0.78600405 32.725525 -45.034715
    Oben rechts KachelX + 1 77452 KachelY 83940 0.57121610 -0.78600405 32.728272 -45.034715
    Unten links KachelX 77451 KachelY + 1 83941 0.57116816 -0.78603793 32.725525 -45.036656
    Unten rechts KachelX + 1 77452 KachelY + 1 83941 0.57121610 -0.78603793 32.728272 -45.036656
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78600405--0.78603793) × R
    3.38800000000417e-05 × 6371000     		dl = 215.849480000265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78600405--0.78603793) × R
    3.38800000000417e-05 × 6371000     		dr = 215.849480000265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57116816-0.57121610) × cos(-0.78600405) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.706678224898524 × 6371000     		do = 215.837719781377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57116816-0.57121610) × cos(-0.78603793) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.706654253204507 × 6371000     		du = 215.830398208992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78600405)-sin(-0.78603793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706678224898524-0.706654253204507)×R²
    abs(0.57121610-0.57116816)×2.39716940164669e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39716940164669e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39716940164669e-05×40589641000000     		ar = 46587.669404851m²