Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7745 / 9309
↖ ↑ ↗
← S 23.825552°
W  9.821777°		 ← 2 235 m → S 23.825552°
W  9.799805°		 →
↑
2 234.82 m
↓
↑
2 234.82 m
↓
S 23.845650°
W  9.821777°		 ← 2 234.66 m →
4 994 441 m²		 S 23.845650°
W  9.799805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7745 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9309 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472747802734375 y=0.568206787109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472747802734375 × 214)
    floor (0.472747802734375 × 16384)
    floor (7745.5)     		tx = 7745
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.568206787109375 × 214)
    floor (0.568206787109375 × 16384)
    floor (9309.5)     		ty = 9309
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7745 / 9309 ti = "14/7745/9309"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7745/9309.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7745 ÷ 214
    7745 ÷ 16384     		x = 0.47271728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9309 ÷ 214
    9309 ÷ 16384     		y = 0.56817626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47271728515625 × 2 - 1) × π
    -0.0545654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17142235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56817626953125 × 2 - 1) × π
    -0.1363525390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.428364135004822
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17142235} λ = -0.17142235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.428364135004822))-π/2
    2×atan(0.651574110654056)-π/2
    2×0.57748100519906-π/2
    1.15496201039812-1.57079632675     		φ = -0.41583432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17142235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.821777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41583432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.825552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7745 KachelY 9309 -0.17142235 -0.41583432 -9.821777 -23.825552
    Oben rechts KachelX + 1 7746 KachelY 9309 -0.17103886 -0.41583432 -9.799805 -23.825552
    Unten links KachelX 7745 KachelY + 1 9310 -0.17142235 -0.41618510 -9.821777 -23.845650
    Unten rechts KachelX + 1 7746 KachelY + 1 9310 -0.17103886 -0.41618510 -9.799805 -23.845650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41583432--0.41618510) × R
    0.000350779999999995 × 6371000     		dl = 2234.81937999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41583432--0.41618510) × R
    0.000350779999999995 × 6371000     		dr = 2234.81937999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17142235--0.17103886) × cos(-0.41583432) × R
    0.000383490000000014 × 0.91477961260936 × 6371000     		do = 2235.00307911774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17142235--0.17103886) × cos(-0.41618510) × R
    0.000383490000000014 × 0.914637857597 × 6371000     		du = 2234.65674117499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41583432)-sin(-0.41618510))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91477961260936-0.914637857597)×R²
    abs(-0.17103886--0.17142235)×0.000141755012360023×R²
    0.000383490000000014×0.000141755012360023×6371000²
    0.000383490000000014×0.000141755012360023×40589641000000     		ar = 4994441.24541102m²