Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7745 / 4292
↖ ↑ ↗
← N 64.736641°
W  9.821777°		 ← 1 042.71 m → N 64.736641°
W  9.799805°		 →
↑
1 042.93 m
↓
↑
1 042.93 m
↓
N 64.727262°
W  9.821777°		 ← 1 043.08 m →
1 087 669 m²		 N 64.727262°
W  9.799805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7745 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4292 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472747802734375 y=0.261993408203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472747802734375 × 214)
    floor (0.472747802734375 × 16384)
    floor (7745.5)     		tx = 7745
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261993408203125 × 214)
    floor (0.261993408203125 × 16384)
    floor (4292.5)     		ty = 4292
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7745 / 4292 ti = "14/7745/4292"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7745/4292.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7745 ÷ 214
    7745 ÷ 16384     		x = 0.47271728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4292 ÷ 214
    4292 ÷ 16384     		y = 0.261962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47271728515625 × 2 - 1) × π
    -0.0545654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17142235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261962890625 × 2 - 1) × π
    0.47607421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.49563126814575
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17142235} λ = -0.17142235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49563126814575))-π/2
    2×atan(4.46215247867345)-π/2
    2×1.35033193290616-π/2
    2.70066386581233-1.57079632675     		φ = 1.12986754
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17142235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.821777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12986754 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.736641°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7745 KachelY 4292 -0.17142235 1.12986754 -9.821777 64.736641
    Oben rechts KachelX + 1 7746 KachelY 4292 -0.17103886 1.12986754 -9.799805 64.736641
    Unten links KachelX 7745 KachelY + 1 4293 -0.17142235 1.12970384 -9.821777 64.727262
    Unten rechts KachelX + 1 7746 KachelY + 1 4293 -0.17103886 1.12970384 -9.799805 64.727262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12986754-1.12970384) × R
    0.0001637000000001 × 6371000     		dl = 1042.93270000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12986754-1.12970384) × R
    0.0001637000000001 × 6371000     		dr = 1042.93270000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17142235--0.17103886) × cos(1.12986754) × R
    0.000383490000000014 × 0.4267796026254 × 6371000     		do = 1042.71423720474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17142235--0.17103886) × cos(1.12970384) × R
    0.000383490000000014 × 0.426927639928923 × 6371000     		du = 1043.07592413418m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12986754)-sin(1.12970384))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.4267796026254-0.426927639928923)×R²
    abs(-0.17103886--0.17142235)×0.000148037303523529×R²
    0.000383490000000014×0.000148037303523529×6371000²
    0.000383490000000014×0.000148037303523529×40589641000000     		ar = 1087669.38472882m²