Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7745 / 1610
↖ ↑ ↗
← N 73.099413°
E160.356445°		 ← 1 420.56 m → N 73.099413°
E160.400391°		 →
↑
1 421.05 m
↓
↑
1 421.05 m
↓
N 73.086633°
E160.356445°		 ← 1 421.61 m →
2 019 433 m²		 N 73.086633°
E160.400391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7745 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.94549560546875 y=0.19659423828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.94549560546875 × 213)
    floor (0.94549560546875 × 8192)
    floor (7745.5)     		tx = 7745
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.19659423828125 × 213)
    floor (0.19659423828125 × 8192)
    floor (1610.5)     		ty = 1610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7745 / 1610 ti = "13/7745/1610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7745/1610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7745 ÷ 213
    7745 ÷ 8192     		x = 0.9454345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1610 ÷ 213
    1610 ÷ 8192     		y = 0.196533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9454345703125 × 2 - 1) × π
    0.890869140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.79874795
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196533203125 × 2 - 1) × π
    0.60693359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.90673811928735
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79874795} λ = 2.79874795}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90673811928735))-π/2
    2×atan(6.73109691537754)-π/2
    2×1.42331088359373-π/2
    2.84662176718745-1.57079632675     		φ = 1.27582544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79874795} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.356445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27582544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.099413°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7745 KachelY 1610 2.79874795 1.27582544 160.356445 73.099413
    Oben rechts KachelX + 1 7746 KachelY 1610 2.79951494 1.27582544 160.400391 73.099413
    Unten links KachelX 7745 KachelY + 1 1611 2.79874795 1.27560239 160.356445 73.086633
    Unten rechts KachelX + 1 7746 KachelY + 1 1611 2.79951494 1.27560239 160.400391 73.086633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27582544-1.27560239) × R
    0.000223050000000002 × 6371000     		dl = 1421.05155000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27582544-1.27560239) × R
    0.000223050000000002 × 6371000     		dr = 1421.05155000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79874795-2.79951494) × cos(1.27582544) × R
    0.000766989999999801 × 0.290711994423421 × 6371000     		do = 1420.5622100722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79874795-2.79951494) × cos(1.27560239) × R
    0.000766989999999801 × 0.290925403795733 × 6371000     		du = 1421.60503353802m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27582544)-sin(1.27560239))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290711994423421-0.290925403795733)×R²
    abs(2.79951494-2.79874795)×0.000213409372311957×R²
    0.000766989999999801×0.000213409372311957×6371000²
    0.000766989999999801×0.000213409372311957×40589641000000     		ar = 2019433.09181788m²