Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77443 / 59003
↖ ↑ ↗
← N 17.657109°
E 32.703552°		 ← 291.04 m → N 17.657109°
E 32.706299°		 →
↑
291.03 m
↓
↑
291.03 m
↓
N 17.654491°
E 32.703552°		 ← 291.04 m →
84 700 m²		 N 17.654491°
E 32.706299°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77443 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59003 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590847015380859 y=0.450160980224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590847015380859 × 217)
    floor (0.590847015380859 × 131072)
    floor (77443.5)     		tx = 77443
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450160980224609 × 217)
    floor (0.450160980224609 × 131072)
    floor (59003.5)     		ty = 59003
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77443 / 59003 ti = "17/77443/59003"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77443/59003.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77443 ÷ 217
    77443 ÷ 131072     		x = 0.590843200683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59003 ÷ 217
    59003 ÷ 131072     		y = 0.450157165527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.590843200683594 × 2 - 1) × π
    0.181686401367188 × 3.1415926535     		Λ = 0.57078466
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.450157165527344 × 2 - 1) × π
    0.0996856689453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.313171765217827
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57078466} λ = 0.57078466}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.313171765217827))-π/2
    2×atan(1.36775644383561)-π/2
    2×0.939485502722244-π/2
    1.87897100544449-1.57079632675     		φ = 0.30817468
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57078466} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.703552°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30817468 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.657109°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77443 KachelY 59003 0.57078466 0.30817468 32.703552 17.657109
    Oben rechts KachelX + 1 77444 KachelY 59003 0.57083260 0.30817468 32.706299 17.657109
    Unten links KachelX 77443 KachelY + 1 59004 0.57078466 0.30812900 32.703552 17.654491
    Unten rechts KachelX + 1 77444 KachelY + 1 59004 0.57083260 0.30812900 32.706299 17.654491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30817468-0.30812900) × R
    4.56799999999924e-05 × 6371000     		dl = 291.027279999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30817468-0.30812900) × R
    4.56799999999924e-05 × 6371000     		dr = 291.027279999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57078466-0.57083260) × cos(0.30817468) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.95288881271801 × 6371000     		do = 291.036770761929m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57078466-0.57083260) × cos(0.30812900) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.952902667373008 × 6371000     		du = 291.041002330184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30817468)-sin(0.30812900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95288881271801-0.952902667373008)×R²
    abs(0.57083260-0.57078466)×1.38546549977026e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.38546549977026e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.38546549977026e-05×40589641000000     		ar = 84700.2555405286m²