Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7744 / 3520
↖ ↑ ↗
← N 71.074057°
W  9.843750°		 ← 792.47 m → N 71.074057°
W  9.821777°		 →
↑
792.62 m
↓
↑
792.62 m
↓
N 71.066928°
W  9.843750°		 ← 792.75 m →
628 236 m²		 N 71.066928°
W  9.821777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7744 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472686767578125 y=0.214874267578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472686767578125 × 214)
    floor (0.472686767578125 × 16384)
    floor (7744.5)     		tx = 7744
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214874267578125 × 214)
    floor (0.214874267578125 × 16384)
    floor (3520.5)     		ty = 3520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7744 / 3520 ti = "14/7744/3520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7744/3520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7744 ÷ 214
    7744 ÷ 16384     		x = 0.47265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3520 ÷ 214
    3520 ÷ 16384     		y = 0.21484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47265625 × 2 - 1) × π
    -0.0546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17180585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21484375 × 2 - 1) × π
    0.5703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.79168956019922
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17180585} λ = -0.17180585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79168956019922))-π/2
    2×atan(5.99958056048846)-π/2
    2×1.40563631240615-π/2
    2.81127262481229-1.57079632675     		φ = 1.24047630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17180585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.843750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24047630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.074057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7744 KachelY 3520 -0.17180585 1.24047630 -9.843750 71.074057
    Oben rechts KachelX + 1 7745 KachelY 3520 -0.17142235 1.24047630 -9.821777 71.074057
    Unten links KachelX 7744 KachelY + 1 3521 -0.17180585 1.24035189 -9.843750 71.066928
    Unten rechts KachelX + 1 7745 KachelY + 1 3521 -0.17142235 1.24035189 -9.821777 71.066928
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24047630-1.24035189) × R
    0.000124410000000186 × 6371000     		dl = 792.616110001184m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24047630-1.24035189) × R
    0.000124410000000186 × 6371000     		dr = 792.616110001184m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17180585--0.17142235) × cos(1.24047630) × R
    0.000383500000000009 × 0.324345770694955 × 6371000     		do = 792.467048104931m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17180585--0.17142235) × cos(1.24035189) × R
    0.000383500000000009 × 0.324463452404873 × 6371000     		du = 792.754577296619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24047630)-sin(1.24035189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324345770694955-0.324463452404873)×R²
    abs(-0.17142235--0.17180585)×0.000117681709918771×R²
    0.000383500000000009×0.000117681709918771×6371000²
    0.000383500000000009×0.000117681709918771×40589641000000     		ar = 628236.099917541m²