Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77438 / 60369
↖ ↑ ↗
← N 14.048666°
E 32.689819°		 ← 296.29 m → N 14.048666°
E 32.692566°		 →
↑
296.25 m
↓
↑
296.25 m
↓
N 14.046002°
E 32.689819°		 ← 296.29 m →
87 777 m²		 N 14.046002°
E 32.692566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77438 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60369 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590808868408203 y=0.460582733154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590808868408203 × 217)
    floor (0.590808868408203 × 131072)
    floor (77438.5)     		tx = 77438
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.460582733154297 × 217)
    floor (0.460582733154297 × 131072)
    floor (60369.5)     		ty = 60369
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77438 / 60369 ti = "17/77438/60369"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77438/60369.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77438 ÷ 217
    77438 ÷ 131072     		x = 0.590805053710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60369 ÷ 217
    60369 ÷ 131072     		y = 0.460578918457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.590805053710938 × 2 - 1) × π
    0.181610107421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57054498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.460578918457031 × 2 - 1) × π
    0.0788421630859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.24768996033683
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57054498} λ = 0.57054498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.24768996033683))-π/2
    2×atan(1.28106269037182)-π/2
    2×0.907995904858993-π/2
    1.81599180971799-1.57079632675     		φ = 0.24519548
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57054498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.689819°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24519548 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.048666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77438 KachelY 60369 0.57054498 0.24519548 32.689819 14.048666
    Oben rechts KachelX + 1 77439 KachelY 60369 0.57059292 0.24519548 32.692566 14.048666
    Unten links KachelX 77438 KachelY + 1 60370 0.57054498 0.24514898 32.689819 14.046002
    Unten rechts KachelX + 1 77439 KachelY + 1 60370 0.57059292 0.24514898 32.692566 14.046002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24519548-0.24514898) × R
    4.65000000000049e-05 × 6371000     		dl = 296.251500000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24519548-0.24514898) × R
    4.65000000000049e-05 × 6371000     		dr = 296.251500000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57054498-0.57059292) × cos(0.24519548) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.970089891526915 × 6371000     		do = 296.290422985934m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57054498-0.57059292) × cos(0.24514898) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.970101178165384 × 6371000     		du = 296.29387021584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24519548)-sin(0.24514898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.970089891526915-0.970101178165384)×R²
    abs(0.57059292-0.57054498)×1.12866384682775e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.12866384682775e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.12866384682775e-05×40589641000000     		ar = 87776.9928845654m²