Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77436 / 83956
↖ ↑ ↗
← S 45.065762°
E 32.684326°		 ← 215.68 m → S 45.065762°
E 32.687073°		 →
↑
215.72 m
↓
↑
215.72 m
↓
S 45.067702°
E 32.684326°		 ← 215.67 m →
46 525 m²		 S 45.067702°
E 32.687073°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77436 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83956 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590793609619141 y=0.640537261962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590793609619141 × 217)
    floor (0.590793609619141 × 131072)
    floor (77436.5)     		tx = 77436
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640537261962891 × 217)
    floor (0.640537261962891 × 131072)
    floor (83956.5)     		ty = 83956
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77436 / 83956 ti = "17/77436/83956"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77436/83956.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77436 ÷ 217
    77436 ÷ 131072     		x = 0.590789794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83956 ÷ 217
    83956 ÷ 131072     		y = 0.640533447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.590789794921875 × 2 - 1) × π
    0.18157958984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.57044911
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640533447265625 × 2 - 1) × π
    -0.28106689453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.882997691001434
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57044911} λ = 0.57044911}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.882997691001434))-π/2
    2×atan(0.413541382469872)-π/2
    2×0.392125203943324-π/2
    0.784250407886647-1.57079632675     		φ = -0.78654592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57044911} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.684326°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78654592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.065762°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77436 KachelY 83956 0.57044911 -0.78654592 32.684326 -45.065762
    Oben rechts KachelX + 1 77437 KachelY 83956 0.57049704 -0.78654592 32.687073 -45.065762
    Unten links KachelX 77436 KachelY + 1 83957 0.57044911 -0.78657978 32.684326 -45.067702
    Unten rechts KachelX + 1 77437 KachelY + 1 83957 0.57049704 -0.78657978 32.687073 -45.067702
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78654592--0.78657978) × R
    3.38599999999412e-05 × 6371000     		dl = 215.722059999625m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78654592--0.78657978) × R
    3.38599999999412e-05 × 6371000     		dr = 215.722059999625m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57044911-0.57049704) × cos(-0.78654592) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.706294729136104 × 6371000     		do = 215.675592267433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57044911-0.57049704) × cos(-0.78657978) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.706270758631073 × 6371000     		du = 215.668272585356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78654592)-sin(-0.78657978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706294729136104-0.706270758631073)×R²
    abs(0.57049704-0.57044911)×2.39705050314454e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39705050314454e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39705050314454e-05×40589641000000     		ar = 46525.1935517145m²