Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77432 / 59290
↖ ↑ ↗
← N 16.904428°
E 32.673340°		 ← 292.17 m → N 16.904428°
E 32.676086°		 →
↑
292.17 m
↓
↑
292.17 m
↓
N 16.901800°
E 32.673340°		 ← 292.17 m →
85 364 m²		 N 16.901800°
E 32.676086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590763092041016 y=0.452350616455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590763092041016 × 217)
    floor (0.590763092041016 × 131072)
    floor (77432.5)     		tx = 77432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452350616455078 × 217)
    floor (0.452350616455078 × 131072)
    floor (59290.5)     		ty = 59290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77432 / 59290 ti = "17/77432/59290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77432/59290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77432 ÷ 217
    77432 ÷ 131072     		x = 0.59075927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59290 ÷ 217
    59290 ÷ 131072     		y = 0.452346801757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59075927734375 × 2 - 1) × π
    0.1815185546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57025736
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.452346801757812 × 2 - 1) × π
    0.095306396484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.299413875026871
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57025736} λ = 0.57025736}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.299413875026871))-π/2
    2×atan(1.34906785344031)-π/2
    2×0.932917125714089-π/2
    1.86583425142818-1.57079632675     		φ = 0.29503792
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57025736} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.673340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29503792 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.904428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77432 KachelY 59290 0.57025736 0.29503792 32.673340 16.904428
    Oben rechts KachelX + 1 77433 KachelY 59290 0.57030529 0.29503792 32.676086 16.904428
    Unten links KachelX 77432 KachelY + 1 59291 0.57025736 0.29499206 32.673340 16.901800
    Unten rechts KachelX + 1 77433 KachelY + 1 59291 0.57030529 0.29499206 32.676086 16.901800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29503792-0.29499206) × R
    4.58600000000087e-05 × 6371000     		dl = 292.174060000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29503792-0.29499206) × R
    4.58600000000087e-05 × 6371000     		dr = 292.174060000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57025736-0.57030529) × cos(0.29503792) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.956791116777994 × 6371000     		do = 292.167677704797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57025736-0.57030529) × cos(0.29499206) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.956804450765264 × 6371000     		du = 292.171749398218m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29503792)-sin(0.29499206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.956791116777994-0.956804450765264)×R²
    abs(0.57030529-0.57025736)×1.33339872694371e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.33339872694371e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.33339872694371e-05×40589641000000     		ar = 85364.4114323512m²