Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77431 / 60380
↖ ↑ ↗
← N 14.019356°
E 32.670593°		 ← 296.33 m → N 14.019356°
E 32.673340°		 →
↑
296.32 m
↓
↑
296.32 m
↓
N 14.016691°
E 32.670593°		 ← 296.33 m →
87 807 m²		 N 14.016691°
E 32.673340°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590755462646484 y=0.460666656494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590755462646484 × 217)
    floor (0.590755462646484 × 131072)
    floor (77431.5)     		tx = 77431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.460666656494141 × 217)
    floor (0.460666656494141 × 131072)
    floor (60380.5)     		ty = 60380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77431 / 60380 ti = "17/77431/60380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77431/60380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77431 ÷ 217
    77431 ÷ 131072     		x = 0.590751647949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60380 ÷ 217
    60380 ÷ 131072     		y = 0.460662841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.590751647949219 × 2 - 1) × π
    0.181503295898438 × 3.1415926535     		Λ = 0.57020942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.460662841796875 × 2 - 1) × π
    0.07867431640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.24716265444101
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57020942} λ = 0.57020942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.24716265444101))-π/2
    2×atan(1.28038735653168)-π/2
    2×0.907740121440731-π/2
    1.81548024288146-1.57079632675     		φ = 0.24468392
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57020942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.670593°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24468392 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.019356°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77431 KachelY 60380 0.57020942 0.24468392 32.670593 14.019356
    Oben rechts KachelX + 1 77432 KachelY 60380 0.57025736 0.24468392 32.673340 14.019356
    Unten links KachelX 77431 KachelY + 1 60381 0.57020942 0.24463741 32.670593 14.016691
    Unten rechts KachelX + 1 77432 KachelY + 1 60381 0.57025736 0.24463741 32.673340 14.016691
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24468392-0.24463741) × R
    4.65099999999996e-05 × 6371000     		dl = 296.315209999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24468392-0.24463741) × R
    4.65099999999996e-05 × 6371000     		dr = 296.315209999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57020942-0.57025736) × cos(0.24468392) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.970213943712954 × 6371000     		do = 296.328311717339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57020942-0.57025736) × cos(0.24463741) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.970225209695806 × 6371000     		du = 296.331752638489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24468392)-sin(0.24463741))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.970213943712954-0.970225209695806)×R²
    abs(0.57025736-0.57020942)×1.1265982851727e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.1265982851727e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.1265982851727e-05×40589641000000     		ar = 87807.0957299236m²