Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77431 / 59289
↖ ↑ ↗
← N 16.907056°
E 32.670593°		 ← 292.22 m → N 16.907056°
E 32.673340°		 →
↑
292.24 m
↓
↑
292.24 m
↓
N 16.904428°
E 32.670593°		 ← 292.23 m →
85 400 m²		 N 16.904428°
E 32.673340°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59289 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590755462646484 y=0.452342987060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590755462646484 × 217)
    floor (0.590755462646484 × 131072)
    floor (77431.5)     		tx = 77431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452342987060547 × 217)
    floor (0.452342987060547 × 131072)
    floor (59289.5)     		ty = 59289
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77431 / 59289 ti = "17/77431/59289"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77431/59289.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77431 ÷ 217
    77431 ÷ 131072     		x = 0.590751647949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59289 ÷ 217
    59289 ÷ 131072     		y = 0.452339172363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.590751647949219 × 2 - 1) × π
    0.181503295898438 × 3.1415926535     		Λ = 0.57020942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.452339172363281 × 2 - 1) × π
    0.0953216552734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.299461811926491
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57020942} λ = 0.57020942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.299461811926491))-π/2
    2×atan(1.34913252512065)-π/2
    2×0.932940058354081-π/2
    1.86588011670816-1.57079632675     		φ = 0.29508379
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57020942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.670593°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29508379 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.907056°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77431 KachelY 59289 0.57020942 0.29508379 32.670593 16.907056
    Oben rechts KachelX + 1 77432 KachelY 59289 0.57025736 0.29508379 32.673340 16.907056
    Unten links KachelX 77431 KachelY + 1 59290 0.57020942 0.29503792 32.670593 16.904428
    Unten rechts KachelX + 1 77432 KachelY + 1 59290 0.57025736 0.29503792 32.673340 16.904428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29508379-0.29503792) × R
    4.58700000000034e-05 × 6371000     		dl = 292.237770000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29508379-0.29503792) × R
    4.58700000000034e-05 × 6371000     		dr = 292.237770000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57020942-0.57025736) × cos(0.29508379) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.95677777787026 × 6371000     		do = 292.224560822065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57020942-0.57025736) × cos(0.29503792) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.956791116777994 × 6371000     		du = 292.22863486783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29508379)-sin(0.29503792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95677777787026-0.956791116777994)×R²
    abs(0.57025736-0.57020942)×1.33389077348056e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.33389077348056e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.33389077348056e-05×40589641000000     		ar = 85399.6493038386m²