Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77429 / 83962
↖ ↑ ↗
← S 45.077400°
E 32.665100°		 ← 215.63 m → S 45.077400°
E 32.667846°		 →
↑
215.66 m
↓
↑
215.66 m
↓
S 45.079339°
E 32.665100°		 ← 215.62 m →
46 502 m²		 S 45.079339°
E 32.667846°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590740203857422 y=0.640583038330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590740203857422 × 217)
    floor (0.590740203857422 × 131072)
    floor (77429.5)     		tx = 77429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640583038330078 × 217)
    floor (0.640583038330078 × 131072)
    floor (83962.5)     		ty = 83962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77429 / 83962 ti = "17/77429/83962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77429/83962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77429 ÷ 217
    77429 ÷ 131072     		x = 0.590736389160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83962 ÷ 217
    83962 ÷ 131072     		y = 0.640579223632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.590736389160156 × 2 - 1) × π
    0.181472778320312 × 3.1415926535     		Λ = 0.57011355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640579223632812 × 2 - 1) × π
    -0.281158447265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.883285312399155
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57011355} λ = 0.57011355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.883285312399155))-π/2
    2×atan(0.413422456223117)-π/2
    2×0.392023641545342-π/2
    0.784047283090684-1.57079632675     		φ = -0.78674904
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57011355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.665100°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78674904 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.077400°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77429 KachelY 83962 0.57011355 -0.78674904 32.665100 -45.077400
    Oben rechts KachelX + 1 77430 KachelY 83962 0.57016148 -0.78674904 32.667846 -45.077400
    Unten links KachelX 77429 KachelY + 1 83963 0.57011355 -0.78678289 32.665100 -45.079339
    Unten rechts KachelX + 1 77430 KachelY + 1 83963 0.57016148 -0.78678289 32.667846 -45.079339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78674904--0.78678289) × R
    3.38500000000019e-05 × 6371000     		dl = 215.658350000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78674904--0.78678289) × R
    3.38500000000019e-05 × 6371000     		dr = 215.658350000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57011355-0.57016148) × cos(-0.78674904) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.706150922282832 × 6371000     		do = 215.63167911479m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57011355-0.57016148) × cos(-0.78678289) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.706126954001587 × 6371000     		du = 215.624360111773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78674904)-sin(-0.78678289))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706150922282832-0.706126954001587)×R²
    abs(0.57016148-0.57011355)×2.39682812450681e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39682812450681e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39682812450681e-05×40589641000000     		ar = 46501.98292805m²