Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77429 / 59287
↖ ↑ ↗
← N 16.912312°
E 32.665100°		 ← 292.16 m → N 16.912312°
E 32.667846°		 →
↑
292.24 m
↓
↑
292.24 m
↓
N 16.909683°
E 32.665100°		 ← 292.16 m →
85 379 m²		 N 16.909683°
E 32.667846°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590740203857422 y=0.452327728271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590740203857422 × 217)
    floor (0.590740203857422 × 131072)
    floor (77429.5)     		tx = 77429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452327728271484 × 217)
    floor (0.452327728271484 × 131072)
    floor (59287.5)     		ty = 59287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77429 / 59287 ti = "17/77429/59287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77429/59287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77429 ÷ 217
    77429 ÷ 131072     		x = 0.590736389160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59287 ÷ 217
    59287 ÷ 131072     		y = 0.452323913574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.590736389160156 × 2 - 1) × π
    0.181472778320312 × 3.1415926535     		Λ = 0.57011355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.452323913574219 × 2 - 1) × π
    0.0953521728515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.299557685725731
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57011355} λ = 0.57011355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.299557685725731))-π/2
    2×atan(1.34926187778218)-π/2
    2×0.932985922674917-π/2
    1.86597184534983-1.57079632675     		φ = 0.29517552
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57011355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.665100°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29517552 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.912312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77429 KachelY 59287 0.57011355 0.29517552 32.665100 16.912312
    Oben rechts KachelX + 1 77430 KachelY 59287 0.57016148 0.29517552 32.667846 16.912312
    Unten links KachelX 77429 KachelY + 1 59288 0.57011355 0.29512965 32.665100 16.909683
    Unten rechts KachelX + 1 77430 KachelY + 1 59288 0.57016148 0.29512965 32.667846 16.909683
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29517552-0.29512965) × R
    4.58700000000034e-05 × 6371000     		dl = 292.237770000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29517552-0.29512965) × R
    4.58700000000034e-05 × 6371000     		dr = 292.237770000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57011355-0.57016148) × cos(0.29517552) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.956751096924551 × 6371000     		do = 292.155457161787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57011355-0.57016148) × cos(0.29512965) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.956764439858049 × 6371000     		du = 292.159531587046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29517552)-sin(0.29512965))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.956751096924551-0.956764439858049)×R²
    abs(0.57016148-0.57011355)×1.33429334977508e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.33429334977508e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.33429334977508e-05×40589641000000     		ar = 85379.4546597119m²