Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77424 / 83824
↖ ↑ ↗
← S 44.809122°
E 32.651367°		 ← 216.69 m → S 44.809122°
E 32.654114°		 →
↑
216.68 m
↓
↑
216.68 m
↓
S 44.811070°
E 32.651367°		 ← 216.68 m →
46 950 m²		 S 44.811070°
E 32.654114°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590702056884766 y=0.639530181884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590702056884766 × 217)
    floor (0.590702056884766 × 131072)
    floor (77424.5)     		tx = 77424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639530181884766 × 217)
    floor (0.639530181884766 × 131072)
    floor (83824.5)     		ty = 83824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77424 / 83824 ti = "17/77424/83824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77424/83824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77424 ÷ 217
    77424 ÷ 131072     		x = 0.5906982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83824 ÷ 217
    83824 ÷ 131072     		y = 0.6395263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5906982421875 × 2 - 1) × π
    0.181396484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.56987386
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6395263671875 × 2 - 1) × π
    -0.279052734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.876670020251587
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56987386} λ = 0.56987386}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.876670020251587))-π/2
    2×atan(0.416166432647406)-π/2
    2×0.394364809109742-π/2
    0.788729618219484-1.57079632675     		φ = -0.78206671
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56987386} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.651367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78206671 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.809122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77424 KachelY 83824 0.56987386 -0.78206671 32.651367 -44.809122
    Oben rechts KachelX + 1 77425 KachelY 83824 0.56992180 -0.78206671 32.654114 -44.809122
    Unten links KachelX 77424 KachelY + 1 83825 0.56987386 -0.78210072 32.651367 -44.811070
    Unten rechts KachelX + 1 77425 KachelY + 1 83825 0.56992180 -0.78210072 32.654114 -44.811070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78206671--0.78210072) × R
    3.40099999999177e-05 × 6371000     		dl = 216.677709999476m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78206671--0.78210072) × R
    3.40099999999177e-05 × 6371000     		dr = 216.677709999476m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56987386-0.56992180) × cos(-0.78206671) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.709458546180041 × 6371000     		do = 216.686901466723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56987386-0.56992180) × cos(-0.78210072) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.709434577318543 × 6371000     		du = 216.679580759463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78206671)-sin(-0.78210072))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709458546180041-0.709434577318543)×R²
    abs(0.56992180-0.56987386)×2.39688614980249e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39688614980249e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39688614980249e-05×40589641000000     		ar = 46950.428483977m²