Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77420 / 59323
↖ ↑ ↗
← N 16.817687°
E 32.640381°		 ← 292.30 m → N 16.817687°
E 32.643127°		 →
↑
292.30 m
↓
↑
292.30 m
↓
N 16.815058°
E 32.640381°		 ← 292.31 m →
85 441 m²		 N 16.815058°
E 32.643127°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59323 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590671539306641 y=0.452602386474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590671539306641 × 217)
    floor (0.590671539306641 × 131072)
    floor (77420.5)     		tx = 77420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452602386474609 × 217)
    floor (0.452602386474609 × 131072)
    floor (59323.5)     		ty = 59323
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77420 / 59323 ti = "17/77420/59323"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77420/59323.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77420 ÷ 217
    77420 ÷ 131072     		x = 0.590667724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59323 ÷ 217
    59323 ÷ 131072     		y = 0.452598571777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.590667724609375 × 2 - 1) × π
    0.18133544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.56968212
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.452598571777344 × 2 - 1) × π
    0.0948028564453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.297831957339409
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56968212} λ = 0.56968212}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.297831957339409))-π/2
    2×atan(1.34693542624821)-π/2
    2×0.932160169528297-π/2
    1.86432033905659-1.57079632675     		φ = 0.29352401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56968212} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.640381°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29352401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.817687°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77420 KachelY 59323 0.56968212 0.29352401 32.640381 16.817687
    Oben rechts KachelX + 1 77421 KachelY 59323 0.56973005 0.29352401 32.643127 16.817687
    Unten links KachelX 77420 KachelY + 1 59324 0.56968212 0.29347813 32.640381 16.815058
    Unten rechts KachelX + 1 77421 KachelY + 1 59324 0.56973005 0.29347813 32.643127 16.815058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29352401-0.29347813) × R
    4.58799999999981e-05 × 6371000     		dl = 292.301479999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29352401-0.29347813) × R
    4.58799999999981e-05 × 6371000     		dr = 292.301479999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56968212-0.56973005) × cos(0.29352401) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.957230229057805 × 6371000     		do = 292.301765922635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56968212-0.56973005) × cos(0.29347813) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.957243502387014 × 6371000     		du = 292.305819093387m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29352401)-sin(0.29347813))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.957230229057805-0.957243502387014)×R²
    abs(0.56973005-0.56968212)×1.32733292095288e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.32733292095288e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.32733292095288e-05×40589641000000     		ar = 85440.8311747014m²