Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7742 / 3906
↖ ↑ ↗
← N 68.122482°
W  9.887695°		 ← 910.42 m → N 68.122482°
W  9.865722°		 →
↑
910.54 m
↓
↑
910.54 m
↓
N 68.114294°
W  9.887695°		 ← 910.75 m →
829 127 m²		 N 68.114294°
W  9.865722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7742 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472564697265625 y=0.238433837890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472564697265625 × 214)
    floor (0.472564697265625 × 16384)
    floor (7742.5)     		tx = 7742
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.238433837890625 × 214)
    floor (0.238433837890625 × 16384)
    floor (3906.5)     		ty = 3906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7742 / 3906 ti = "14/7742/3906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7742/3906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7742 ÷ 214
    7742 ÷ 16384     		x = 0.4725341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3906 ÷ 214
    3906 ÷ 16384     		y = 0.2384033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4725341796875 × 2 - 1) × π
    -0.054931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17257284
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2384033203125 × 2 - 1) × π
    0.523193359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.64366041417249
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17257284} λ = -0.17257284}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64366041417249))-π/2
    2×atan(5.17407414606561)-π/2
    2×1.37987896974602-π/2
    2.75975793949203-1.57079632675     		φ = 1.18896161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17257284} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.887695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18896161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.122482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7742 KachelY 3906 -0.17257284 1.18896161 -9.887695 68.122482
    Oben rechts KachelX + 1 7743 KachelY 3906 -0.17218934 1.18896161 -9.865722 68.122482
    Unten links KachelX 7742 KachelY + 1 3907 -0.17257284 1.18881869 -9.887695 68.114294
    Unten rechts KachelX + 1 7743 KachelY + 1 3907 -0.17218934 1.18881869 -9.865722 68.114294
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18896161-1.18881869) × R
    0.000142920000000046 × 6371000     		dl = 910.543320000295m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18896161-1.18881869) × R
    0.000142920000000046 × 6371000     		dr = 910.543320000295m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17257284--0.17218934) × cos(1.18896161) × R
    0.000383500000000009 × 0.372623680767378 × 6371000     		do = 910.42342780982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17257284--0.17218934) × cos(1.18881869) × R
    0.000383500000000009 × 0.37275630422576 × 6371000     		du = 910.747463854278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18896161)-sin(1.18881869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372623680767378-0.37275630422576)×R²
    abs(-0.17218934--0.17257284)×0.000132623458381054×R²
    0.000383500000000009×0.000132623458381054×6371000²
    0.000383500000000009×0.000132623458381054×40589641000000     		ar = 829127.496403154m²