Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7742 / 1607
↖ ↑ ↗
← N 73.137697°
E160.224610°		 ← 1 417.44 m → N 73.137697°
E160.268555°		 →
↑
1 417.93 m
↓
↑
1 417.93 m
↓
N 73.124945°
E160.224610°		 ← 1 418.48 m →
2 010 565 m²		 N 73.124945°
E160.268555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7742 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.94512939453125 y=0.19622802734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.94512939453125 × 213)
    floor (0.94512939453125 × 8192)
    floor (7742.5)     		tx = 7742
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.19622802734375 × 213)
    floor (0.19622802734375 × 8192)
    floor (1607.5)     		ty = 1607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7742 / 1607 ti = "13/7742/1607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7742/1607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7742 ÷ 213
    7742 ÷ 8192     		x = 0.945068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1607 ÷ 213
    1607 ÷ 8192     		y = 0.1961669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945068359375 × 2 - 1) × π
    0.89013671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.79644698
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1961669921875 × 2 - 1) × π
    0.607666015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.90903909046912
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79644698} λ = 2.79644698}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90903909046912))-π/2
    2×atan(6.74660280786607)-π/2
    2×1.42364497562668-π/2
    2.84728995125336-1.57079632675     		φ = 1.27649362
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79644698} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.224610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27649362 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.137697°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7742 KachelY 1607 2.79644698 1.27649362 160.224610 73.137697
    Oben rechts KachelX + 1 7743 KachelY 1607 2.79721397 1.27649362 160.268555 73.137697
    Unten links KachelX 7742 KachelY + 1 1608 2.79644698 1.27627106 160.224610 73.124945
    Unten rechts KachelX + 1 7743 KachelY + 1 1608 2.79721397 1.27627106 160.268555 73.124945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27649362-1.27627106) × R
    0.000222560000000094 × 6371000     		dl = 1417.9297600006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27649362-1.27627106) × R
    0.000222560000000094 × 6371000     		dr = 1417.9297600006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79644698-2.79721397) × cos(1.27649362) × R
    0.000766990000000245 × 0.290072607863795 × 6371000     		do = 1417.43785193969m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79644698-2.79721397) × cos(1.27627106) × R
    0.000766990000000245 × 0.290285591630776 × 6371000     		du = 1418.47859568792m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27649362)-sin(1.27627106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290072607863795-0.290285591630776)×R²
    abs(2.79721397-2.79644698)×0.000212983766981478×R²
    0.000766990000000245×0.000212983766981478×6371000²
    0.000766990000000245×0.000212983766981478×40589641000000     		ar = 2010565.17228286m²