Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77416 / 58005
↖ ↑ ↗
← N 20.249313°
E 32.629395°		 ← 286.49 m → N 20.249313°
E 32.632141°		 →
↑
286.50 m
↓
↑
286.50 m
↓
N 20.246737°
E 32.629395°		 ← 286.49 m →
82 081 m²		 N 20.246737°
E 32.632141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58005 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590641021728516 y=0.442546844482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590641021728516 × 217)
    floor (0.590641021728516 × 131072)
    floor (77416.5)     		tx = 77416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442546844482422 × 217)
    floor (0.442546844482422 × 131072)
    floor (58005.5)     		ty = 58005
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77416 / 58005 ti = "17/77416/58005"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77416/58005.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77416 ÷ 217
    77416 ÷ 131072     		x = 0.59063720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58005 ÷ 217
    58005 ÷ 131072     		y = 0.442543029785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59063720703125 × 2 - 1) × π
    0.1812744140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.56949037
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442543029785156 × 2 - 1) × π
    0.114913940429688 × 3.1415926535     		Φ = 0.361012791038643
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56949037} λ = 0.56949037}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.361012791038643))-π/2
    2×atan(1.4347818131108)-π/2
    2×0.962106759353428-π/2
    1.92421351870686-1.57079632675     		φ = 0.35341719
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56949037} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.629395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35341719 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.249313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77416 KachelY 58005 0.56949037 0.35341719 32.629395 20.249313
    Oben rechts KachelX + 1 77417 KachelY 58005 0.56953830 0.35341719 32.632141 20.249313
    Unten links KachelX 77416 KachelY + 1 58006 0.56949037 0.35337222 32.629395 20.246737
    Unten rechts KachelX + 1 77417 KachelY + 1 58006 0.56953830 0.35337222 32.632141 20.246737
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35341719-0.35337222) × R
    4.49699999999775e-05 × 6371000     		dl = 286.503869999857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35341719-0.35337222) × R
    4.49699999999775e-05 × 6371000     		dr = 286.503869999857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56949037-0.56953830) × cos(0.35341719) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.938195483558859 × 6371000     		do = 286.48927739654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56949037-0.56953830) × cos(0.35337222) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.938211046988662 × 6371000     		du = 286.494029877059m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35341719)-sin(0.35337222))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938195483558859-0.938211046988662)×R²
    abs(0.56953830-0.56949037)×1.55634298029117e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.55634298029117e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.55634298029117e-05×40589641000000     		ar = 82080.967503451m²