Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77414 / 60444
↖ ↑ ↗
← N 13.848747°
E 32.623901°		 ← 296.55 m → N 13.848747°
E 32.626648°		 →
↑
296.57 m
↓
↑
296.57 m
↓
N 13.846080°
E 32.623901°		 ← 296.55 m →
87 948 m²		 N 13.846080°
E 32.626648°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77414 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60444 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590625762939453 y=0.461154937744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590625762939453 × 217)
    floor (0.590625762939453 × 131072)
    floor (77414.5)     		tx = 77414
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461154937744141 × 217)
    floor (0.461154937744141 × 131072)
    floor (60444.5)     		ty = 60444
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77414 / 60444 ti = "17/77414/60444"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77414/60444.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77414 ÷ 217
    77414 ÷ 131072     		x = 0.590621948242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60444 ÷ 217
    60444 ÷ 131072     		y = 0.461151123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.590621948242188 × 2 - 1) × π
    0.181243896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.56939449
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461151123046875 × 2 - 1) × π
    0.07769775390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.244094692865326
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56939449} λ = 0.56939449}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.244094692865326))-π/2
    2×atan(1.27646519691375)-π/2
    2×0.906251280894409-π/2
    1.81250256178882-1.57079632675     		φ = 0.24170624
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56939449} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.623901°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24170624 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.848747°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77414 KachelY 60444 0.56939449 0.24170624 32.623901 13.848747
    Oben rechts KachelX + 1 77415 KachelY 60444 0.56944243 0.24170624 32.626648 13.848747
    Unten links KachelX 77414 KachelY + 1 60445 0.56939449 0.24165969 32.623901 13.846080
    Unten rechts KachelX + 1 77415 KachelY + 1 60445 0.56944243 0.24165969 32.626648 13.846080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24170624-0.24165969) × R
    4.65499999999786e-05 × 6371000     		dl = 296.570049999863m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24170624-0.24165969) × R
    4.65499999999786e-05 × 6371000     		dr = 296.570049999863m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56939449-0.56944243) × cos(0.24170624) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.97093098341361 × 6371000     		do = 296.547314098522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56939449-0.56944243) × cos(0.24165969) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.970942124551743 × 6371000     		du = 296.550716888881m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24170624)-sin(0.24165969))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.97093098341361-0.970942124551743)×R²
    abs(0.56944243-0.56939449)×1.11411381328308e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.11411381328308e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.11411381328308e-05×40589641000000     		ar = 87947.556368257m²