Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7741 / 3907
↖ ↑ ↗
← N 68.114294°
W  9.909668°		 ← 910.72 m → N 68.114294°
W  9.887695°		 →
↑
910.93 m
↓
↑
910.93 m
↓
N 68.106101°
W  9.909668°		 ← 911.05 m →
829 749 m²		 N 68.106101°
W  9.887695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7741 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472503662109375 y=0.238494873046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472503662109375 × 214)
    floor (0.472503662109375 × 16384)
    floor (7741.5)     		tx = 7741
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.238494873046875 × 214)
    floor (0.238494873046875 × 16384)
    floor (3907.5)     		ty = 3907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7741 / 3907 ti = "14/7741/3907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7741/3907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7741 ÷ 214
    7741 ÷ 16384     		x = 0.47247314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3907 ÷ 214
    3907 ÷ 16384     		y = 0.23846435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47247314453125 × 2 - 1) × π
    -0.0550537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17295633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23846435546875 × 2 - 1) × π
    0.5230712890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.64327691897552
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17295633} λ = -0.17295633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64327691897552))-π/2
    2×atan(5.17209029390508)-π/2
    2×1.37980750733566-π/2
    2.75961501467132-1.57079632675     		φ = 1.18881869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17295633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.909668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18881869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.114294°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7741 KachelY 3907 -0.17295633 1.18881869 -9.909668 68.114294
    Oben rechts KachelX + 1 7742 KachelY 3907 -0.17257284 1.18881869 -9.887695 68.114294
    Unten links KachelX 7741 KachelY + 1 3908 -0.17295633 1.18867571 -9.909668 68.106101
    Unten rechts KachelX + 1 7742 KachelY + 1 3908 -0.17257284 1.18867571 -9.887695 68.106101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18881869-1.18867571) × R
    0.000142979999999904 × 6371000     		dl = 910.925579999387m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18881869-1.18867571) × R
    0.000142979999999904 × 6371000     		dr = 910.925579999387m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17295633--0.17257284) × cos(1.18881869) × R
    0.000383489999999986 × 0.37275630422576 × 6371000     		do = 910.723715550083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17295633--0.17257284) × cos(1.18867571) × R
    0.000383489999999986 × 0.372888975742732 × 6371000     		du = 911.047860562561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18881869)-sin(1.18867571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.37275630422576-0.372888975742732)×R²
    abs(-0.17257284--0.17295633)×0.000132671516972327×R²
    0.000383489999999986×0.000132671516972327×6371000²
    0.000383489999999986×0.000132671516972327×40589641000000     		ar = 829749.166212093m²