Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7741 / 1559
↖ ↑ ↗
← N 73.738904°
E160.180664°		 ← 1 368.29 m → N 73.738904°
E160.224610°		 →
↑
1 368.81 m
↓
↑
1 368.81 m
↓
N 73.726594°
E160.180664°		 ← 1 369.30 m →
1 873 619 m²		 N 73.726594°
E160.224610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7741 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1559 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.94500732421875 y=0.19036865234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.94500732421875 × 213)
    floor (0.94500732421875 × 8192)
    floor (7741.5)     		tx = 7741
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.19036865234375 × 213)
    floor (0.19036865234375 × 8192)
    floor (1559.5)     		ty = 1559
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7741 / 1559 ti = "13/7741/1559"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7741/1559.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7741 ÷ 213
    7741 ÷ 8192     		x = 0.9449462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1559 ÷ 213
    1559 ÷ 8192     		y = 0.1903076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9449462890625 × 2 - 1) × π
    0.889892578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.79567999
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1903076171875 × 2 - 1) × π
    0.619384765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.94585462937732
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79567999} λ = 2.79567999}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94585462937732))-π/2
    2×atan(6.99961137304236)-π/2
    2×1.42889149922867-π/2
    2.85778299845734-1.57079632675     		φ = 1.28698667
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79567999} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.180664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28698667 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.738904°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7741 KachelY 1559 2.79567999 1.28698667 160.180664 73.738904
    Oben rechts KachelX + 1 7742 KachelY 1559 2.79644698 1.28698667 160.224610 73.738904
    Unten links KachelX 7741 KachelY + 1 1560 2.79567999 1.28677182 160.180664 73.726594
    Unten rechts KachelX + 1 7742 KachelY + 1 1560 2.79644698 1.28677182 160.224610 73.726594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28698667-1.28677182) × R
    0.0002148500000001 × 6371000     		dl = 1368.80935000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28698667-1.28677182) × R
    0.0002148500000001 × 6371000     		dr = 1368.80935000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79567999-2.79644698) × cos(1.28698667) × R
    0.000766989999999801 × 0.280014925649263 × 6371000     		do = 1368.29105528462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79567999-2.79644698) × cos(1.28677182) × R
    0.000766989999999801 × 0.280221174249523 × 6371000     		du = 1369.29888768586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28698667)-sin(1.28677182))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.280014925649263-0.280221174249523)×R²
    abs(2.79644698-2.79567999)×0.000206248600259085×R²
    0.000766989999999801×0.000206248600259085×6371000²
    0.000766989999999801×0.000206248600259085×40589641000000     		ar = 1873619.36241092m²