Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77400 / 57416
↖ ↑ ↗
← N 21.759500°
E 32.585449°		 ← 283.60 m → N 21.759500°
E 32.588196°		 →
↑
283.64 m
↓
↑
283.64 m
↓
N 21.756949°
E 32.585449°		 ← 283.61 m →
80 441 m²		 N 21.756949°
E 32.588196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57416 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590518951416016 y=0.438053131103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590518951416016 × 217)
    floor (0.590518951416016 × 131072)
    floor (77400.5)     		tx = 77400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438053131103516 × 217)
    floor (0.438053131103516 × 131072)
    floor (57416.5)     		ty = 57416
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77400 / 57416 ti = "17/77400/57416"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77400/57416.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77400 ÷ 217
    77400 ÷ 131072     		x = 0.59051513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57416 ÷ 217
    57416 ÷ 131072     		y = 0.43804931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59051513671875 × 2 - 1) × π
    0.1810302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.56872338
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43804931640625 × 2 - 1) × π
    0.1239013671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.389247624914856
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56872338} λ = 0.56872338}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.389247624914856))-π/2
    2×atan(1.47586996826325)-π/2
    2×0.975285620336222-π/2
    1.95057124067244-1.57079632675     		φ = 0.37977491
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56872338} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.585449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37977491 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.759500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77400 KachelY 57416 0.56872338 0.37977491 32.585449 21.759500
    Oben rechts KachelX + 1 77401 KachelY 57416 0.56877131 0.37977491 32.588196 21.759500
    Unten links KachelX 77400 KachelY + 1 57417 0.56872338 0.37973039 32.585449 21.756949
    Unten rechts KachelX + 1 77401 KachelY + 1 57417 0.56877131 0.37973039 32.588196 21.756949
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37977491-0.37973039) × R
    4.45200000000479e-05 × 6371000     		dl = 283.636920000305m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37977491-0.37973039) × R
    4.45200000000479e-05 × 6371000     		dr = 283.636920000305m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56872338-0.56877131) × cos(0.37977491) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.928748102538633 × 6371000     		do = 283.604405950019m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56872338-0.56877131) × cos(0.37973039) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.928764605690949 × 6371000     		du = 283.609445386111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37977491)-sin(0.37973039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928748102538633-0.928764605690949)×R²
    abs(0.56877131-0.56872338)×1.65031523164938e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.65031523164938e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.65031523164938e-05×40589641000000     		ar = 80441.3949004758m²